Temel Kavramlar
Rakam
Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere denir. Onluk sayma sisteminde kullanılan rakamlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dur.
Sayılar
Sayılar, Matematik merdiveninin ilk basamağıdır. Matematiği binaya benzetirsek, onun temelini sayılar oluşturur. Temel sağlam olmazsa yani sayılar iyi öğrenilmezse, üzerine bina edilecek olan diğer konular iyi anlaşılmayacaktır. Bu nedenle sayılar iyi öğrenilmelidir.
Sayılar konusunu geniş olarak ele almayı ve bunu da çok değişik örneklerle pekiştirmeyi düşündük. Sayılar konusunu iki ana başlık altında inceleyeceğiz:
A - Sayı Kavramı
- Doğal sayılar ve ardışık sayıların toplamı.
- Sayı basamakları ve sayma sistemler.
- Bölünebilme
- Asal sayılar ve obeb - okek
B - Sayıların Sınıflandırılması
- Tam sayılar
- Rasyonel sayılar
- Ondalık sayılar
- Üslü sayılar
Yukarıda verilen sıralamaya uygun olarak önce doğal sayıları ve ardışık doğal sayıların toplamını göreceğiz.
1 - Doğal Sayılar ve Ardışık Toplamları
0,1,2,3,4 .... n ... sayılarının oluşturduğu kümeye, doğal sayılar kümesi denir ve "N" ile gösterilir.
N = {0,1,2,3,4...... n....} biçiminde yazılır.
Doğal sayılar kümesinin en küçük elamanı sıfırdır.
Sıfır hariç 1,2,3,4....... n..... sayılarından oluşan kümeye de sayma sayılar kümesi denir. Sayma sayılar N+ ile gösterilir.
N+ = {1,2,3,4......... n ...}, biçiminde yazılır.
n Î N olmak üzere çift doğal sayılar kümesi
Ç = {n Î N} = {0,2,4,6,.. ,2n, ...}’dir
n Î N olmak üzere tek doğal sayılar kümesi ise
T = {n Î N} = {1,3,5,7,........... ,2n+1,...} şeklinde
gösterilir.
Ardışık Sayılar
Kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara ardışık sayılar denir.
neN olmak üzere 2n, 2n+2, 2n+4,... sayıları ardışık çift sayılardır.
2n+1, 2n+3, 2n+5, 2n+7,.... sayıları ise ardışık tek
sayılardır.
Belli bir kurala göre sıralanmış olan ardışık sayılar bir dizi oluştururlar. Bu diziyi oluşturan sayılara ise dizinin terimleri denir.
Diziyi oluşturan sayılar, ya artarak, ya azalarak ya da hem artıp hem azalarak sıralanırlar.
Genel olarak böyle bir dizide "n" terim sayısınıgöster- mek üzere dizininin iki terimi arasındaki farka artış miktarı denir.
1, 2, 3, 4,5, 6................ 50
| ilk terim | artış miktarı | son terim |
| 1 | 1 | 50 |
| Terim sayısı: n = | (son terim - ilk terim) | +1 |
| Artış miktarı |
formülüyle bulunur.
Örnek: 21,22,23......... 57 dizisinin terim sayısını bulunuz.
Çözüm:
ilk terim = 21
son terim = 57
artış miktarı =1
terim sayısı = ( 57 - 21 ) / 1 + 1 = 37
Örnek: : 13,15,17,........... ,73 dizinin terim sayısını bulunuz.
Çözüm:
İlk terim = 13
Son terim = 73
Artış miktarı = 2
Terim sayısı = n = ( 73 - 13 ) / 2 + 1 = 31
Örnek: 3,6,9,12,.......... 96 dizisinin terim sayısını bulunuz.
Çözüm:
ilk terim = 3
son terim = 96
artış miktarı = 3
terim sayısı = n = ( 96 - 3 ) / 3 +1 = 32
Doğal Sayılarda Ardışık Sayıların Toplamı
Ardışık doğal sayıların toplamını veren birden çok formül vardır. Biz bunlardan en kolay ve en kullanışlısını vereceğiz.
Vereceğimiz formülün nasıl bulunduğunu da göstermek suretiyle, iyice öğrenmiş olacaksınınız. Verilecek olan formül, her tip ardışık sayının toplanmasında kullanılabilir.
Ardışık sayıların toplamını T ile gösterelim;
| T = | (son terim + ilk terim) | x Terim sayısı |
| 2 |
| T = | (son terim + ilk terim) | x | (son terim - ilk terim) | + 1 |
| 2 | 2 |
| T = | (son terim + ilk terim) . ( son terim - ilk terim + artış miktarı ) | |
| 2 x artış miktarı |
Örnek: 1 + 3 + 5 + ....... + 63 toplamı kaçtır?
Çözüm:
ilk terim = 1
son terim = 63
artış miktarı = 2
T = ( 63 + 1 ) . ( 63 - 1 + 2 ) / 2 . 2 = 64 . 64 / 4 = 1024
Örnek: 3 + 6 + 9 + ....... +96 toplamı kaçtır?
Çözüm:
ilk terim = 3
son terim = 96
artış miktarı = 3
T = ( 96 + 3 ) . ( 96 - 3 + 3 ) / 2 . 3 = 99 . 96 / 6 = 1584
İşlem kolaylığı sağlamak için pay ve paydayı sadeleştiriniz.
Örnek: 1'' den 85'' e kadar 4'' ün katı olan doğal sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm:
1 ve 85 4'' ün katları değldir.
ilk terim = 4
son terim = 84
artış miktarı = 4
T = ( 84 + 4 ) . ( 84 - 4 + 4 ) / 2 . 4 = 88 . 84 / 8 = 924
Örnek: 1 + 1.2 + 1.4 + ....... +3.2 toplamı kaçtır?
Çözüm:
ilk terim = 1
son terim = 3.2
artış miktarı = 0.2
T = ( 3.2 + 1 ) . ( 3.2 - 1 + 0.2 ) / 2 . 0.2 = 4.2 . 2.4 / 0.4 = 25.2
