Bölme Bölünebilme

Bölme Bölünebilme

A) Bölme

a, b, c, d, ve k birer doğal sayı, b ≠ 0 olmak üzere, 

Bölme işleminde;

a : bölünen

b : bölen

c : bölüm

k : kalan ise

a = b.c + k  biçiminde gösterilir.

Bir bölme işleminde;

1. k < b dir.
2. k = 0 ise a sayısı b sayısına tam olarak bölünür.
3. Kalan bölümden küçük ise bölen ile bölümün yerlerinin değiştirilmesi kalanı değiştirmez. 

B) Bölünebilme Kuralları

Burada sırasıyla 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ve 25 ile bölünebilme kuralları verilmiştir.
2 ile bölünebilme	Her çift sayı 2 ile tam bölünür. Tek sayılar 2 ile tam bölünemeyip 1 kalanını verir.
3 ile bölünebilme	Rakamlarının toplamı 3 ün katı olan sayı 3 ile tam bölünür. Kalan, rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
4 ile bölünebilme	Bir sayının son iki basamağı 4 ün katı ise bu sayı 4 e tam bölünür. Kalan son iki basamağında belirtilen sayının 4 ile bölümüne eşittir.
5 ile bölünebilme	Bir sayının son rakamında 0 veya 5 bulunuyorsa o sayı 5 ile tam bölünür. Aksi halde kalan son basamağın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
6 ile bölünebilme	Eğer bir sayı 2 ve 3 e tam bölünüyorsa 6 ya da tam bölünür.
7 ile bölünebilme	1, 3 ve 2 sayıları bir sayının sırasıyla birler, onlar ve yüzler basamağıyla sırayla çarpılır. Çıkan üçlü grupların toplamlarının farkı, o sayının 7 ile bölümünden kalana eşittir.
8 ile bölünebilme	Bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8 ile tam bölünüyorsa o sayı 8 ile tam bölünür. Kalan o sayının son üç basamağının oluşturan sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
9 ile bölünebilme	Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayı 9 ile tam bölünür. Kalan, rakamlar toplamının 9ile bölümünden kalana eşittir.
10 ile bölünebilme	Bir sayının son rakamı 0 ise o sayı 10 ile tam bölünür. Değil ise o sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının son (birler) basamağındaki rakama eşittir.
11ile bölünebilme	abcdef gibi bir sayının 11 ile bölümünden kalanı bulmak için birler basamağından itibaren birer atlanarak toplanır. Çıkan iki ayrı değerin farkının 11 ile bölümünden kalan, sayının 11 ile bölümünden kalana eşittir.
25 ile bölünebilme	Bir sayının son iki basamağındaki sayı 25 in katıysa o sayı 25 ile tam bölünür. Aksi durumda son iki basamağından oluşan sayının 25 ile bölümünden kalan, o sayının 25 ile bölümünden kalana eşittir.

Uyarı: Aralarında asal sayılara tma bölünebilen bir sayı bu sayıların çarpımına da tam bölünür.

2 ve 3 ile bölünebilen sayılar 6 ile,
2 ve 5 ile bölünebilen sayılar 10 ile,
3 ve 4 ile bölünebilen sayılar 12 ile,
3 ve 5 ile bölünebilen sayılar 15 ile,
2 ve 9 ile bölünebilen sayılar 18 ile,
4 ve 5 ile bölünebilen sayılar 20 ile,
2 ve 11 ile bölünebilen sayılar 22 ile,
3 ve 8 ile bölünebilen sayılar 24 ile,
4 ve 9 ile bölünebilen sayılar 36 ile,
5 ve 9 ile bölünebilen sayılar 45 ile,

C) Bir Doğal Sayının Tam Bölenleri

1. Bir Doğal Sayının Çarpanlarına Ayrılması

Örnek:

120 sayısının asal çarpanlarını bulalım.

Çözüm:

120 = 23.3.5 tir.

120 nin asal çarpanları 2, 3, ve 5 tir.

2. Bir Doğal Sayının Tam Bölenlerinin Sayısı

Bir A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli;

A = xa.yb.zc olsun.

• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı = (a + 1)(b + 1)(c + 1) dir.
• A sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı = 2.(a + 1)(b + 1)(c + 1) dir.
• A sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır.
• A sayısının asal bölenlerinin sayısı 3 tür. Bunlar x, y, z dir.

Bölme Bölünebilme

A) Bölme 

Bölme işleminde;

A = B.C + K  biçiminde gösterilir.

Bir bölme işleminde;

1. K < B dir.
2. K = 0 ise A sayısı B sayısına tam olarak bölünür.
3. Kalan bölümden küçük ise bölen ile bölümün yerlerinin değiştirilmesi kalanı değiştirmez. 

A, B, c, d, e, f, birer tamsayı olmak üzere,

• A nın c ile bölümünden kalan e,
• B nin c ile bölümünden kalan d ise,
• A + B nin  c ile bölümünden kala e + d,
• A - B nin c ile bölümünden kalan e - d,
• A.B nin c ile bölmünden kalan e.d,
• An nin c ile bölümünden kalan en,
• Kalan c den büyükse c ye tekrar bölünmelidir.
• Kalan negatifse kalana pozitif olması için c nin katları eklenmelidir.

Örnek:

13 ile bölündüğünde bölümü 15, kalanı 8 olan sayı kaçtır ?

Çözüm:

İstenen sayıya x diyelim.

x = 13.15 + 8 = 203 tür. 

Örnek:

4ab üç basamaklı bir sayı olmak üzere, 4ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine ve bölüm 17 olduğuna göre, a + b değeri kaçtır ? 

Çözüm:

4ab = 26.17 =442

4ab = 442

Buna göre;

a = 4, b = 2 olduğu için,

a + b = 6 olur.

Bölünebilme Kuralları:

2 ile bölünebilme:

Bölünmek istenen sayının birler basamağı çift ise sayı 2 ye kalansız bölünür. Birler basamağı tek ise sayının 2 ile bölümünden kalan 1 dir.

3 ile bölünebilme:

Bölünmek istenen sayının rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalan, o sayının 3 ile bölümünden kalana eşittir. Kalan 0 ise o sayı 3 ile tam bölünür.

4 ile bölünebilme:

Bölünmek istenen sayının son iki basamağını oluşturan sayıyının 4 ile bölümünden kalan, o sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir. Kalan 0 ise o sayı 4 ile tam bölünüyor demektir.

5 ile bölünebilme:

Birler basamağı 0 yada 5 olan her tam sayı 5 ile kalansız bölünür. Sayının birler basamağının 5 ile bölümünden artan, kalanı verir.

7 ile bölünebilme:

Bölünmek istenen sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla 1, 3,2 ile çarpılır ve bu çarpımlar üçerli gruplar halinde önce ( + ) ile sonra ( - ) ile çarpılıp toplanır. Toplamın 7 ile bölümünden kalan, sayının 7 ile bölümünden kalana eşittir. Kalan 0 ise sayının 7 ile tam bölündüğü sonucuna ulaşılır.

8 ile bölünebilme:

Bölünmek istenen sayının son üç basamağını oluşturan sayının 8 ile bölümünden kalan, o sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir. Kalan 0 ise, o sayı 8 e kalansız bölünüyor demektir.

9 ile bölünebilme:

Bölünmek istenen sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalan, o sayının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Kalan 0 ise o sayı 9 ile kalansız bölünür.

10 ile bölünebilme:

Bölünmek istenen sayının birler basamağındaki rakam, o sayının 10 ile bölümünden kalanı verir. Sayının 10 ile tam bölünebilmesi için birler basamağının 0 olması gerekir.

11 ile bölünebilme:

Bölünmek istenen sayının rakamları sağdan sola doğru +, -, +, -, +, -, ..... ile işaretlendirerek toplanır. Toplamın 11 ile bölümünden kalan, sayının 11 ile bölümünden kalana eşittir.

25 ile bölünebilme:

Bölünmek istenen sayının son iki basamağını oluşturan sayının 25 ile bölümnden kalan, o sayının 25 ile bölümünden kalana eşittir.

* Dikkat edilirse 4, 8, 25 bölünebilme kuralı olarak benzerlik göstermektedir.

** Dikkat edilirse 3 ve 9 bölünebilme kuralı olarak benzerlik göstermektedir.

*** Dikkat edilirse 5 ve 10 bölünebilme kuralı olarak benzerlik göstermektedir.

Aralarında asal sayılara tam bölünebilen sayılar bu sayıların çarpımınada tam bölünür.

• 6 ile tam bölünebilmesi için 2 ve 3 ile,
• 12 ile tam bölünebilmesi için 3 ve 4 ile,
• 15 ile tam bölünebilmesi için 3 ve 5 ile,
• 18 ile tam bölünebilmesi için 2 ve 9 ile,
• 20 ile tam bölünebilmesi için 4 ve 5 ile,
• 24 ile tam bölünebilmesi için 3 ve 8 ile,
• 28 ile tam bölünebilmesi için 4 ve 7 ile,
• 30 ile tam bölünebilmesi için 3 ve 10 yada 5 ve 6 ile tam bölünmesi gerekir.

Örnek:

Beş basamaklı 42736 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm:

4 + 2 + 7 + 3 + 6 = 22

22 nin 3 le bölümünden kalanı bulmalıyız.

2 + 2 = 4

4 ün üç ile bçlümünden kalan 1 dir.

Buna göre 42736 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 dir.

Örnek:

Üç basamaklı 736 sayısının sırasıyla 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ve 25 ile bölümünden kalanları bulalım.

Çözüm:

• 36 sayısı 4 ün katı olduğu için, 736 sayısının 4 ile bölümünden kalan 0 dır.
• 6 sayısının 5 ile bölümünden kalan bir olduğu için, 736 sayısının 5 ile bölümünden kalan 1 dir.
• 736 sayısı 2 ye tam bölünürken, 3 ile bölümünden 1 kalanını veriyor. 0 dan 5 e kadar olan sayılardan 2 ile tam bölünüp 3 ile bölündüğünde 1 kalanını veren sayı 4 tür. Dolayısıyla 736 sayısının 6 ile bölümünden kalan 4 tür.
• 736 sayısını sırasıyla 1, 3, ve 2 sayıları ile çarpıp toplayıp çıkan sonunucun 7 ile bölümünden kalan, 736 nın 7 ile bölümünden kalana eşittir. (6.1) + (3.3) + (7.2) = 29 ve 29 sayısının 7 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, 736 nın 7 ile bölümünden kalan 1 dir.
• 736 sayısının 8 ile tam bölünür. Kalan 0 dır.
• (7 + 3 + 6) = 16 olduğundan ve 16 nın 9 ile bölümünden kalan 7 olduğu için 736 sayısının 9 ile bölümünden kalan 7dir.
• 736 sayısının son basamağı 6 olduğu için, 736 sayısının 10 ile bölümünden kalan 6 dır.
• 736 sayısının 11 ile bölümünden kalan (7 + 6) -3 = 10 dur.
• 36 sayısının 25 ile bölümünden kalan 11 olduğu için, 736 sayısının 25 ile bölümünden kalan 11 dir.

Örnek:

634 sayısının 18 ile bölümünden kalan kaçtır ?

Çözüm:

634 sayısı 2 ile tam bölünürken 9 ile bölümünden 4 kalanını veriyor. 0 dan 17 ye kadar olan sayılardan 2 ye tam bölünüp 9 ile bölümünden 4 kalanını veren sayı 4 tür. 634 sayısı 17 ile bölümünden 4 kalanını verir.

Örnek:

120 sayısının asal çarpanlarını bulalım.

Bir Doğal Sayının Tam Bölenleri

Çözüm:

120 = 23.3.5 tir.

120 nin asal çarpanları 2, 3, ve 5 tir.

Örnek:

2100 sayısının asal çarpanlarını bulalım.

Çözüm:

2100 = 21.100

          = 3.7.10.10

          = 3.7.2.5.2.5 = 22.3.52.7

olduğu için 2100 ün 4 tane asal çarpanı vardır. Bunlar; 2, 3, 5, 7 dir.

Bir Doğal Sayının Tam Bölenlerinin Sayısı

Bir A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli;

A = xa.yb.zc olsun.

• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı = (a + 1)(b + 1)(c + 1) dir.
• A sayısının tam sayı bölenlerinin sayısı = 2.(a + 1)(b + 1)(c + 1) dir.
• A sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır.
• A sayısının asal bölenlerinin sayısı 3 tür. Bunlar x, y, z dir.

Örnek: 

72 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı kaçtır ?

Çözüm:

72 = 8.9 = 23.32

72 nin pozitif tam bölenlerinin sayısı = (3 + 1).(2 + 1) = 12 dir.