Sıralı İkili
a ve b gibi herhangi iki nesneden birinin diğerinden önce (örneğin a'nın) gelmesi önemli ise, bu durum (a, b) şeklinde gösterilir. Buna sıralı ikili denir. Sıralı ikililerde sıra önemlidir.
(a, b) ≠ (b, a) olduğu halde
{a, b} = {b, a} dır.
Bileşenleri aynı olan ikililere özdeş ikililer denir.
Yani : (a, b) = (c, d) ise
a = c, b = d dir.
(a, b) ikilisinde a'ya birinci bileşen b'ye ikinci bileşen denir.
Kartezyen Çarpım
A ve B gibi herhangi iki kümeden, birinci bileşeni A'dan ikinci bileşeni B'den alınmak, suretiyle oluşturulan sıralı ikililerin tümünün kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir ve A x B biçiminde gösterilir. Kısaca,
A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B} dir.
Uyarı:
Kartezyen çarpımının her elemanı bir sıralı ikili ve sıralı ikililerde sıra önemli olduğuna göre;
A x B ≠ B x A dır. Yani kartezyen çarpımda değişme özelliği yoktur.
Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı
A ve B kümelerinin eleman sayıları, s(A) = m ve s(B) = n ise;
s(A x B) = s(A).s(B) = m.n dir.
Uyarı:
s(A x B) = s(B x A) olduğunu unutmayınız.
Kartezyen Çarpımın Şeması
A = {a, b, c} ve B = {3, 4} ise
A x B = {(a,3), (a, 4), (b, 3), (b, 4), (c, 3), (c, 4)} kartezyen çarpımının şeması aşağıdaki gibidir.
Kartezyen Çarpımının Grafiği
A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3} ise;
A x B yazılışında A'nın elemanları yatay (apsis) eksende, B'nin elemanları düşey (ordinat) eksende, B x A yazılışında ise B'nin elemanları yatay (apsis) eksende, A'nın elemanları düşey (ordinat) eksende işaretlenir.
Kısaca; İlk harfe ait elemanlar yatay (apsis), ikinci harfe ait elemanları da düşey (ordinat) eksende gösterilir.
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
- A x B ≠ B x A (Kartezyen çarpımda değişme özelliği yoktur.)
- A x (B x C) = (A x B) x C (Birleşme özelliği vardır.)
- A x (B U C) = (A x B) U (A x C)
- A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) (Dağılma özelliği vardır.)
A ve B kümeleri verildiğinde;
- Her iki kümenin elemanları da sayılamayan (sonsuz) çoklukta ise A x B ve B x A nın grafiği bir alan oluşturur.
- A'nın elemanları sayılamaz, B'nin elemanları sayılabilir çoklukta ise A x B nin grafiği x-eksenine paralel doğrular,
- A'nın elemanları sayılabilir, B'nin elemanları sayılamaz çoklukta ise A x B nin grafiği y-eksenine paralel doğrular oluşturur.
Bağıntı
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B kartezyen çarpımı kümesinin β gibi herhangi bir alt kümesine, A dan B ye bağıntı denir.
A = {a, b}, B = {1, 2, 3} kümeleri için;
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b,3)} kartezyen çarpımının her alt kümesi, A dan B ye bir bağıntıdır. Bu bağıntıların bazıları aşağıda gösterilmiştir.
β1 = {(a, 1), (a, 2), (a, 3)}
β2 = {(b, 1)}
β3 = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4)}
β4 = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
β4 bağıntısından da anlaşılabileceği gibi A x B kümesinin kendisi de aynı zamanda bir bağıntıdır.
A x B kümesi 6 elemanlı olduğundan A x B nin 26 = 64 tane alt kümesi vardır. Bu 64 tane kümenin her biri A'dan B'ye bağıntıdır.
s(A) = m, s(B) = n ise A'dan B'ye yada B'den A'ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 2m.n tanedir.
Kartezyen çarpımın değişme özelliği olmadığından bir bağıntının belirtilebilmesi için, o bağıntının kuralının bilinmesi gereklidir. Yani A'dan B'ye mi yoksa B'den A'ya mı olduğu bilinmelidir.
Bir Bağıntının Tersi
A'dan B'ye tanımlanan bir β bağıntısındaki ikilileri yer değiştirerek B'den A'ya yeni bir bağıntı elde edebiliriz. Elde edilen bu yeni bağıntıya β'nin ters bağıntısı denir ve β-1 ile gösterilir. Kısaca;
β = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}
β-1 = {(y, x) : x ∈ A, y ∈ B}
Bağıntının Özellikleri
Bir kümede tanımlı bağınıtının aşağıdaki özellikleri vardır.
I. Yansıma Özelliği
β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.
"x ∈ A için (x, x) ∈ β ise β bağıntısının yansıma özelliği vardır denir. Ya da β yansıyan bağıntıdır denir.
n elemanlı bir A kümesi verilmiş olsun.
m = n2 ise
- A da tanımlı tüm yansıyan bağıntıların sayısı 2 m-n tane olur.
- β yansıyan bir bağıntı ise β nin kartezyen diyagramında y = x üzerinde n tane nokta vardır.
II. Simetri
β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.
"(x, y) ∈ β iken (y, x) ∈ β ise β simetriktir ya da β bağıntısında simetri özelliği vardır denir.
- β simetrik bağıntı ise β = β-1 dir.
- n elemanlı bir A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntıların sayısı 2n.(n+1)/2 tanedir.
- n elemanlı bir A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan ve simetrik bağıntıların sayısı 2(n²-n)/2 tanedir.
III. Ters - Simetri
β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.
- x ≠ y için "(x, y) ∈ β iken (y, x) ∉ β ise veya
- "(x, y) ∈ β ve (y, x) ∈ β iken x = y oluyorsa, β bağıntısı ters-simetriktir.
Uyarı:
- Ters-simetrik olmayan bir bağıntının simetrik, simetrik olmayan bir bağıntının ters-simetrik olması gerekmez
- Ters-simetrik bir bağıntıda bileşenleri aynı olan ikililerin bulunması, ters simetriğe aykırı değildir.
- Ters-simetrik bir bağıntının grafiğinde y = x doğrusuna göre simetrik eleman yoktur.
IV. Geçişme
β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.
(x, y) ∈ β ve (y, x) ∈ β iken (x, z) ∈ β oluyorsa, β geçişken bir bağıntıdır ya da β bağıntısında geçişme özelliği vardır.
Özel Bağıntılar
Denklik Bağıntısı
A'da tanımlı bir bağıntının
- Yansıma
- Simetri
- Geçişme
özellikleri varsa bu bağıntıya denklik bağıntısı denir.
Sıralama Bağıntısı
A'da tanımlı bir bağıntının
- Yansıma
- Ters-simetri
- Geçişme
özellikleri varsa bu bağıntıya sıralama bağıntısı denir.