İşlem
A boş olmayan bir küme ve A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlı her fonksiyona, A kümesinde bir ikili işlem ya da işlem denir. İşlem +, -, ., :, ο, Δ, Ä,¤,Å, ... gibi sembollerle gösterilir.
Örnek:
Tam sayılar kümesinde
x ο y = 2x + 5y biçiminde ο işlemi tanımlanmıştır. Buna göre, 5 ο (-1) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
x ο y = 2x + 5y
5 ο (-1) = 2.5 + 5.(-1)
= 10 - 5
= 5 olur.
Örnek:
Tam sayılar kümesi üzerinde,
a ¤ b = 2a - b işlemi tanımlanmıştır.
k ¤ 7 = 5 ¤ 13 olduğuna göre, k kaçtır ?
Çözüm:
a ¤ b = 2a - b
k ¤ 7 = 5 ¤ 13
2k - 7 = 2.5 -13
2k = 4
k = 2 dir.
Örnek:
Reel sayılarda Δ işlemi,
a Δ b = √a²+b² olduğuna göre, (3 Δ 4) Δ 12 değerini bulalım.
Çözüm:
a Δ b = √a²+b² olduğuna göre,
a = 3 ve b = 4 için, 3 Δ 4 = √3²+4² = √25 = 5 tir ...(1)
a = 5 ve b = 12 için, 5 Δ 12 = √5²+12² = √169 = 13 tür. ...(2)
Buna göre, (1) ve (2) den
(3 Δ 4) Δ 125 Δ 12 = 13 tür.
Örnek:
| Δ | S | E | Ç | İ | M |
| S | E | Ç | İ | M | S |
| E | Ç | İ | M | S | E |
| Ç | İ | M | S | E | Ç |
| İ | M | S | E | Ç | İ |
| M | S | E | Ç | İ | M |
A = {S, E, Ç, İ, M} kümesi üzerinde Δ işlemi yukardaki tabloya göre tanımlanıyor. Buna göre, S Δ (Ç Δ M) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
| Δ | S | E | Ç | İ | M |
| S | E | Ç | İ | M | S |
| E | Ç | İ | M | S | E |
| Ç | İ | M | S | E | Ç |
| İ | M | S | E | Ç | İ |
| M | S | E | Ç | İ | M |
S Δ (Ç Δ M) = S Δ (Ç) = İ bulunur.
İşlemin Özellikleri
1. Kapalılık Özelliği
A boş olmayan küme bir küme ve Δ, A da tanımlı bir işlem olsun. ∀ a, b Î A ise, A kümesi Δ işlemine göre kapalıdır denir.
Örnek:
a) N (Doğal Sayılar Kümesi), + işlemine göre kapalıdır. Çünkü, herhangi iki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır.
b) IR (Reel Sayılar kümesi), x işlemine göre kapalıdır. Çünkü, herhangi iki reel sayının toplamı yine bir reel sayıdır.
Örnek:
| 1 | 2 | 3 | |
| 1 | 2 | 3 | 1 |
| 2 | 3 | 1 | 2 |
| 3 | 1 | 2 | 3 |
A = {1, 2, 3} kümesinin, yukardaki tabloda tanımlanan Å işlemine göre, kapalı olup olmadığına bakalım.
Çözüm:
1 Å 2 = 3, 3 Å 1 = 1
Görüldüğü gibi, A kümesinden alınan herhangi iki elemanın Å işlemine göre sonucu yine A nın elemanıdır. Bunun için A kümesi Å işlemine göre kapalıdır.
2. Değişme Özelliği
A boş olmayan bir küme ve Ä, A da tanımlı bir işlem olsun. ∀ a, b Î A için, a Ä b = b Ä a ise Ä işleminin değişme özelliği vardır denir.
Örnek:
Reel sayılar kümesinde + işleminin değişme özelliğinin olup olmadığına bakalım.
Çözüm:
2 + 3 ?=? 3 + 2
5 = 5
Görüldüğü gibi, iki reel sayının toplamında, sayıların yerlerinin değişmesi sonucu değiştirmemektedir. Bunun için, reel sayılar kümesinde + işleminin değişme özelliği vardır.
Örnek:
Reel sayılar kümesinde tanımlanan
x Ä y = x + y -2xy
işleminin değişme özelliğinin olup olmadığına bakalım.
Çözüm:
3 Ä 4 ?=? 4 Ä 3
3 + 4 - 2.3.4 ?=? 4 + 3 - 2.4.3
7 - 24 ?=? 7 - 24
-17 = -17 dir
Görüldüğü gibi Ä işleminin değişme özelliği vardır.
Reel sayılar kümesinde;
Çarpma ve toplama işlemlerinde değişme özelliği varken çıkarma ve toplama işlemlerinde bu özellik yoktur.
Çarpma ve toplama işlemlerinde değişme özelliği varken çıkarma ve toplama işlemlerinde bu özellik yoktur.
3. Birleşme Özelliği
A boş olmayan bir küme ve v, A da tanımlı bir işlem olsun.
∀ a, b, c Î A için,
a v (b v c) = (a v b) v c) ise v işleminin birleşme özelliği vardır denir.
Örnek:
Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan a l b = a + b - 3 işleminin birleşme özelliğinin olup olmadığına bakalım.
Çözüm:
2 l (3 l 5) ?=? (2 l 3) l 5
2 l (3 + 5 -3 ) ?=? (2 + 3 - 3) l 5
2 l 5 = 2 l 5 dir.
Buna göre, l işleminin birleşme özelliği vardır.
Reel sayılar gümesinde;
Çarpma ve toplama işlemlerinde birleşme özelliği varken çıkarma ve toplama işlemlerinde bu özellik yoktur.
Çarpma ve toplama işlemlerinde birleşme özelliği varken çıkarma ve toplama işlemlerinde bu özellik yoktur.
4. Birim (Etkisiz) Eleman
A boş olmayan bir küme ve q, A da tanımlı bir işlem olsun.∀ a, b, c Î A için,
a q e = e q a = a ise e ye q işleminin etkisiz (birim) elemanı denir.
e Î A ise A kümesi q işlemine göre birim (etkisiz) eleman özelliğine sahiptir, denir.
Bir işlemde etkisiz eleman varsa bir tanedir. Birden fazla etkisiz eleman bulunuyorsa, işlemin etkisiz (birim) elemanı yoktur.
Örnek:
Reel sayılar kümesi üzerinde
a) Çarpma
b) Toplama
işlemlerinin etkisiz (birim) elemanlarını bulalım.
Çözüm:
a) 1.2 = 2.1 = 2
1.5 = 5.1 = 5
Görüldüğü gibi, 1 ile hangi reel sayıyı çarparsak çarpalım sonuç daima çarptığımız reel sayı çıkıyor. Dolayısıyla ∀x Î R için,
x.1 = 1.x = x dir.
Yani çarpma (.) işleminin birim elemanı 1 dir.
b) 0 + 4 = 4 + 0 = 4
0 + 9 = 9 + 0 = 9
Görüldüğü gibi, 0 hangi sayıyla toplanırsa toplsan sonuç daima topladığımız sayı çıkıyor. Dolayısıyla ∀x Î R için,
0 + x = x + 0 = x dir.
Yani, toplama (+) işleminin birim elemanı 0 dır.
Örnek:
R de tanımlanan
x t y = x + y + 2 işleminin etkisiz (birim) elemanını bulalım.
Çözüm:
t işleminin değişme özelliği olduğu için, x t e = x eşitliğini sağlayan e sayısını bulmalıyız.
x t e = x
x + e + 2 = x
e + 2 = 0
e = -2 dir.
t işleminin birim (etkisiz) elemanı -2 dir.
Örnek:
R = {N, A, Z, İ, K} kümesi üzerinde aşağıdaki tabloyla tanımlanan v işleminin etkisiz elemanını bulalım.
| v | N | A | Z | İ | K |
| N | K | N | A | Z | İ |
| A | N | A | Z | İ | K |
| Z | A | Z | İ | K | N |
| İ | Z | İ | K | N | A |
| M | İ | K | N | A | Z |
Çözüm:
Tablodan da görüleceği gibi,
N v A = A v N = N
Z v A = Z v A = Z
İ v A = A v İ = İ
K v A = A v K = K
A v A = A olduğundan v işleminin birim (etkisiz) elemanı A dır.
* Etkisiz eleman, tabloda başlangıç satırının görüldüğü satırla, başlangıç sütunun görüldüğü sütunun kesşimindeki elemandır.
5. Ters Eleman
A boş olmayan bir küme ve u, A da tanımlı bir işlem olsun. e, u işleminin birim elemanı olsun.
x Î A için, x u y = y u x = e şartımı sağlayan y ye u işlemine göre, x in tersi denir ve x-1 = y şeklinde gösterilir.
y Î A ise A kümesi u işlemine göre ters eleman özelliğine sahiptir, denir.
- Bir işlemin etkisiz elemanı yoksa ters elemanı da yoktur.
- Bir elemanın tersinin tersi kendisidir.
- Bir elemanın tersi varsa bir tanedir.
- Birim elemanın tersi kendisidir.
Örnek:
Reel sayılar kümesinde tanımlanan
x u y = x + y - 6
işlemine göre 3 ün tersini bulalım.
Çözüm:
Önce birim eleman bulunmalıdır. O halde,
x u e = x den
x + e - 6 = x
e - 6 = 0
e = 6 bulunur.
3 ün u işlemine göre tersi a olsun. O halde, 3 u a = 6 olmalıdır.
3 + a - 6 = 6
a - 3 = 6
a = 9 dur.
Buna göre, 3 ün u işlemine göre tersi 9 dur. Bu, 3-1 = 9 şeklinde gösterilir.
Örnek:
| ı | S | A | D | E |
| S | D | E | S | A |
| A | E | S | A | D |
| D | S | A | D | E |
| E | A | D | E | S |
M = {S, A, D, E} kümesinde tanımlanan ı işlemine göre ,
a) S nin tersini
b) S ı E-1 i
c) S ı (D ı E)-1 i bulalım.
Çözüm:
| ı | S | A | D | E |
| S | D | E | S | A |
| A | E | S | A | D |
| D | S | A | D | E |
| E | A | D | E | S |
ı işleminin birim elemanı D dir. O halde,
a) S ı S-1 = D ğ S-1 = S dir.
b) E ı E-1 = D ğ E-1 = A dır. O halde,
S ı E-1= S ı A = E dir.
c) S ı (D ı E)-1 = S ı (E)-1
= S ı A (E-1 = A idi.)
= E bulunur.
6. Yutan Eleman
A boş olmayan farklı bir küme ve n, A da tanımlı bir işlem olsun.
∀ x Î A için x n y = y n x = y ise y Î A ya n işleminin yutan elemanı denir.
Örnek:
R de tanımlanan,
x p y = 3x + yy - xy
işleminin yutan elemanını bulalım.
Çözüm:
Yutan eleman y olsun. p işlemi değişmeli olduğundan ∀ x Î IR için,
x p y = y olmalıdır.
x p y = y
3x + y - xy = y
x.(3 - y) = 0
y = 3 bulunur.
Örnek:
Reel sayılar kümesinde (.) işlemine göre, yutan eleman 0 dır.
Çünkü, ∀ x Î IR için x.0 = 0.x = 0 dır.
Örnek:
A = {x, y, z, t} kümesi üzerinde n işlemi aşağıdaki tabloyla tanımlanıyor. n işlemine göre yutan elemanı bulalım.
| n | x | y | z | t |
| x | x | x | x | x |
| y | x | y | z | t |
| z | x | z | t | y |
| t | x | t | y | z |
Çözüm:
| n | x | y | z | t |
| x | x | x | x | x |
| y | x | y | z | t |
| z | x | z | t | y |
| t | x | t | y | z |
x n x = x
x n y = x
x n z = x
x n t = x olduğuna göre yutan eleman x tir.
x Î A olduğu için A kümesi n işlemine göre yutan eleman özelliğine sahiptir.
