Su Dalgaları Konu Anlatımı

Bir çakıl taşını göle attığımızda dalgaların oluştuğunu görmüşüzdür. Çakıl taşının oluşturduğu sarsıntı gölün kenarında son bulur. Eğer sarsıntının yakınında yüzen bir yaprağın hareketini dikkatlice incelersek onun ilk konumu etrafında aşağı yukarı hareket ettiğini fakat sarsıntı kaynağının asla uzaklaşmadığını ya da ona yaklaşmadığını görürüz. Yani su dalgaları (veya sarsıntı) bir yerden başka bir yere hareket eder fakat su onunla birlikte hareket etmez. Böyle olmasaydı su yüzeyinde oluşan dalga ile birlikte denizin tamamının hareket etmesi gerekirdi. Oysaki yüzeyde oluşan dalgalardan dolayı su içerisinde hiçbir değişiklik gözlenmez.

Su dalgası suyun bulunduğu tüm ortamlarda oluşturulabilir. Durgun bir suyun içine kalemimizin ucunu batırıp çıkardığımızda kalemin su ile temas ettiği noktayı merkez alan ve her yöne eşit hızlarla yayılan dalgalar elde ederiz. Bu dalgalar dairesel su dalgalarıdır. Kalemin ucunu değil de kendisini suyun içine batırıp çıkarırsak bu durumda bir doğrultuda eşit hızlarla yayılan dalgalar elde ederiz. Bu dalgalar doğrusal su dalgalarıdır. Laboratuvar ortamında su dalgaları ve bu dalgaların özellikleri dalga leğeni adı verilen bir araç ile incelenir. Dalga leğeni, tabanı cam ve kenarları suyu tutacak şekilde hazırlanmış bir araçtır.

Dalga leğenine üstten ışık tutulunca su üzerindeki dalgalar mercek gibi davranarak kabın alt tarafında aydınlık ve karanlık bölgeler oluşturur. Bu da dalga özelliklerini incelememizi kolaylaştırır.

Su Dalgalarının Özellikleri

Su dalgalarının özelleri maddeler halinde kısaca şöyle sıralanabilir:

• Tepe ve çukur noktalardan oluşurlar.
• Ortam değişmezse hızları değişmez.
• Ortam değiştiğinde frekansları ve periyotları sabit kalır.
• Ortamın derinliği değişince hızı ve dalga boyu değişir.
• Su dalgaları üzerine bir ışık demeti gönderilirse tepe noktalar ışınları kırarak bir noktada toplar (ince kenarlı mercek gibi davranırlar).
• Çukur noktalar ise ışınları dağıtır (kalın kenarlı mercekler gibi davranırlar).
• Su dalgaları üzerine bir ışık demeti gönderilirse tepe noktalarının altında aydınlık, çukur noktalarının altında ise karanlık noktalar oluşur.

Su dalgası denince birçoğumuzun aklına deniz dalgaları gelir. Bu dalgaların nasıl oluştuğunu hiç düşündünüz mü?

Deniz dalgalarının kaynağı rüzgârlardır. Bu dalgalar incelendiğinde deniz kıyısının şekli ne olursa olsun dalgaların hep kıyıya paralel gelip çarptıklarını görürsünüz. Deniz yüzeyine çarpan rüzgâr, suyun hareketlenmesini sağlar. Ancak dalgaların sahile arka arkaya paralel bir şekilde gelip çarpmalarının sebebi rüzgâr değildir. Açık denizde dalgalar, bizim sahilden seyrettiğimiz gibi düzgün değillerdir. Rüzgâr bir yönden ve düzgün şekilde esmez. Hava şartlarıyla birlikte karışık yönlerden su yüzeyine çarpan hava, düzensiz dalgalar oluşturur. Bu düzensiz dalgalar sahile değişik açılarla yaklaşırlar.

Sahile yaklaşan dalga, sanki bunu hissetmiş gibi kırılıp köpürmeden önce aniden yönünü değiştirir ve düzgün paralel çizgiler halinde sahile vurur.

Dalgalar kıyıya (sığ yerlere) yaklaştıkça, dalganın suyun altında kalan kısmı dibe sürtmeye başlar. Dibe değen bu kısmın hızı azalır. Örneğin sağa doğru bir açıyla kıyıya gelen dalganın önce sol tarafı kıyıya ulaşır ve deniz dibi tarafından frenlenir. Bisikletle giderken sol ayak yere değdirildiğinde nasıl bisiklet yavaşlar ve sola dönerse dalga boyunca da aynı şey olur.

Dalganın diğer kısımları da aynı derinliğe ulaşıp dibe değdikçe dalga tamamen yüzünü sola yani kıyıya doğru döndürür. Bu hareket, bütün dalga boyunca ve daha sonra arkadan gelen dalgalarda devam eder. Kıyıya iyice yaklaşan dalgada alttaki kısım artık hareket edemez. Üstteki kısım çelme takılmış bir insan gibi kapaklanır ve köpükler oluşur. Dalga sönene kadar bu durum devam eder. Sönen dalganın suları, geri denize çekilir. Denizde oluşan dalgaların büyüklüğü denizin derinliğine ve rüzgârın şiddetine bağlıdır.

Su dalgalarını şekillerine göre doğrusal su dalgaları ve dairesel su dalgaları olmak üzere iki grupta incelemek mümkündür.

Doğrusal Su Dalgaları

Doğrusal su dalgaları, düz bir çubuğu suya değdirdiğimizde oluşur. Dalgaların yüksek olan kısımlarına tepe (T), alçak olan kısımlarına ise çukur (Ç) denir. Dalgalar her zaman dalga tepelerine dik olarak ilerler.

Dairesel Su Dalgaları

Dairesel su dalgaları, noktasal kaynaklarla oluşturulur. Dalga leğenine kalemin ucunu değdirdiğimizde ya da bir taş bıraktığımızda dairesel su dalgası oluşur. Yayılma doğrultusunda dalganın şekli bozulmadığından dalga tepesinin hızı her doğrultuda aynıdır.

Su Dalgalarının Yansıması

Su dalgalarının yansıması farklı geometrik alanlarda farklı cereyan eder. Genel olarak aynı mantığıyla düşünmemiş gerekir. Engel su dalgasını benzediği ayna gibi yansıtır.

Doğrusal Su Dalgalarının Düz Engelden Yansıması

Doğrusal su dalgalarının düzlem engelde yansıması, ışığın düzlem aynada yansımasıyla benzerlik gösterir.

Normal: Yüzeye çizilen dikmedir.

Gelme açısı (θg): Gelen atmanın yüzeyin normali ile yaptığı açıdır.

Yansıma açısı (θy): Yansıyan atmanın yüzeyin normali ile yaptığı açıdır.

Yansıma kanunlarına göre gelme açısı yansıma açısına eşittir. Yüzeyin normali ile θ açısı yapacak şekilde gelen dalgalar aynı açı ile yansırlar. Dalganın hızı (V), dalga boyu (λ) ve frekansı (f) değişmez.

Dairesel Su Dalgalarının Düz Engelden Yansıması

K noktasından dairesel yayılan su dalgaları düz engele çarptığında yansır. Yansıyan dalgalar sanki engelin arkasındaki K noktasına eşit uzaklıktaki, K’ noktasından geliyormuş gibi davranır.

Doğrusal Su Dalgalarının Çukur Engelde Yansıması

Doğrusal su dalgalarının çukur engelden yansıması çukur aynaya paralel gelen ışının yansımasına benzer. Odak noktası F olan çukur engele gelen doğrusal dalgalar yansıdığında odakta toplanır. Daha sonra yayılır.

Doğrusal Su Dalgalarının Tümsek Engelde Yansıması

Doğrusal dalgalar, odak noktası F olan tümsek engele geldiğinde odaktaki dairesel su dalgası kaynağından yayılıyormuş gibi yansırlar. Bu yansıma, asal eksene paralel gelen ışığın tümsek aynada yansımasına benzer.

Dairesel Su Dalgalarının Çukur Engelde Yansıması

Bu durum için 5 tane ayrı seçenek mevcuttur.

1. Kaynak merkezin dışındaysa

Kaynak merkezin dışında ise dalgalar çukur engelden yansıdıktan sonra odak ile merkez arasında toplanacak şekilde yansır.

2. Kaynak merkezdeyse

Kaynak merkezdeyse dalgalar çukur engelden yansıdıktan sonra merkezde toplanacak şekilde yansır.

3. Kaynak odakla merkez arasındaysa

Kaynak odak ile merkez arasında ise dalgalar çukur engelden yansıdıktan sonra merkezin dışında toplanacak şekilde yansır.

4. Kaynak odaktaysa

Kaynak odakta ise çukur engele dairesel olarak gelen dalgalar, engelden doğrusal olarak yansır. Bu durum, çukur aynanın odağından gelen ışının, asal eksene paralel olarak yansımasına benzer.

5. Kaynak odakla tepe noktası arasındaysa

Kaynak odakta ise çukur engele dairesel olarak gelen dalgalar, engelden doğrusal olarak yansır. Bu durum, çukur aynanın odağından gelen ışının, asal eksene paralel olarak yansımasına benzer.

Dairesel Su Dalgalarının Tümsek Engelde Yansıması

Dairesel dalgalar tümsek engelde, engelin odağı ile tepe noktası arasındaki bir noktadan geliyormuş gibi yansır.

Su Dalgalarının Hızı

Dalga leğenindeki çubuk, eşit zaman aralıklarında suya batırılıp çıkartıldığında doğrusal ve periyodik dalgalar üretilmiş olur.

Periyot (T)

Bir tam dalganın oluşması için geçen süreye periyot denir. Ardı ardına gelen iki tepe (TT) arası veya iki çukur (ÇÇ) arası tam bir dalgadır.

Dalganın T’den T’ye veya Ç’den Ç’ye gelene kadar geçen süre eşittir ve bu dalganın periyoduna eşittir. Birimi saniye (s) dir.

Frekans (f)

Bir saniyede oluşturulan dalga sayısına frekans denir. Birimi = 1/s = s-1 = Hertz (Hz) dir. Periyotla frekans arasında her zaman, f.T = 1 eşitliği vardır.

Dalga Boyu (λ)

Ardı ardına gelen iki dalga tepesi ya da çukuru arasındaki uzaklığa dalga boyu denir. Birimi metre (m) veya santimetre (cm) dir.

Dalganın Hızı (V)

Bir tam dalga oluştuğunda dalganın aldığı yol λ, geçen süre T olduğundan, dalganın hızı, V = λ.feşitliği ile bulunur.

Su Dalgalarında Doppler Olayı

Derinliği her yerde aynı olan dalga leğeninde kaynak sabit ise oluşan dalgaların dalga boyları düzgün ve her doğrultuda eşittir. Fakat kaynak hareket ettirildiğinde oluşan dalgalar düzgün olmayacağından her yerde dalga boyu eşit olamaz. Dalga boyunun kaynağın hareketine bağlı olarak değişmesine doppler olayı denir.

Kaynağın hızı dalganın hızından küçükse

Kaynağın hızı, dalganın hızından küçük olmak şartıyla kaynak +x yönünde hareket ettirildiğinde, +x yönündeki dalgaların dalga boyu (λ1) küçülür. –x yönünde hareket eden dalgaların dalga boyu (λ2) ise büyür.

Su derinliği her yerde aynı olan dalga leğenindeki durgun sudaki dalgaların dalga boyu λ = (λ1 + λ2)/2 eşitliğinden bulunabilir.

Kaynağın hızı dalganın hızına eşitse

Dalga leğeninde kaynak hareketsiz ise kaynağın oluşturduğu dalgalar kaynağın çevresinde simetriktir. Dalga kaynağı hareket ederse dalga deseni hareket yönünde sıkışır. Ters yönde ise seyrekleşir. Dalga kaynağının hızı dalganın hızına eşit ise dalgalar şekildeki gibi yayılırlar.

λ1 = 0 iken λ2 = 2Vk.T = 2Vd.T olur.

Kaynağın hızı dalganın hızından büyükse

Kaynağın hızı, su dalgalarının hızından büyük ise şekilde görülen dalga deseni oluşur. Bu olaya en güzel örnek ses dalgalarından daha hızlı hareket eden süpersonik uçakların yayımladığı ses dalgalarıdır. Kaynak dalgaların hızından daha büyük bir hızla hareket ediyorsa, dalga çeperlerinin birbiri üstüne yığılması kaynağın yan kısımları boyunca olur. Bu şekilde dalga tepeleri üst üste binerek çok büyük ve tek bir dalga tepesi oluştururlar.

Tepenin arkasında ise çok büyük bir dalga çukuru oluşur. Bu dalga şok dalgası olarak adlandırılır. Şok dalgaları yüksek enerji taşıdığından çevreye zarar verebilirler. Binaların camlarını kırıp insanların psikolojik yapısını bozabilir. Su yüzeyinde çok hızlı hareket eden bir motor da benzer dalgalar üretir.

Stroboskop

Su dalgaları dalga leğeninde devamlı hareket ettiklerinden dalga boyunu ölçmek zordur. Stroboskop, dalgaların frekansını ölçmek için kullanılır. Stroboskop çevrilmeye başlandığında yarıklar arasından dalgalara bakılır. İlerleyen bir dalga bir önceki dalganın yerine geldiğinde dalgaları duruyormuş gibi görülür. Dalgaların frekansı fd, dalgalar duruyor göründüğü anda stroboskobun frekansı fs ve üzerindeki yarık sayısı n olmak üzere,

fd = n.fs olur.

Dalganın hızı, V = λ.fd = λ.n.fs eşitliği ile bulunur.

Stroboskobun yarık frekansı (fy), fy = n.fs dir.

• fd > fy ise dalgalar ileri gidiyor görülür.
• fd < fy ise dalgalar geri gidiyor görülür.
• fd = fy ise dalgalar duruyor görülür.

Deneylerde stroboskop önce maksimum hızda döndürülür. Sonra hızı yavaş yavaş azaltılır. İlk kez dalgalar duruyor görüldüğünde fd = n.fs olur.

Stroboskobun düşük hızlarında da dalgalar duruyor görülebilir. Çünkü dalgaların hızı büyük ise stroboskop döndürülürken iki bölmesi arasında geçen sürede aynı noktadan 2, 3, 4, . . . dalga geçebilir. Göz bunları tek dalga olarak görür.

Su dalgalarının kırılması optik kurallarına göre gerçekleşir.

Su Dalgalarında Kırınım

Derinliği her yerde aynı olan bir dalga leğeninde dalga boyu λ1 olan dalgalar üretiliyor ve iki engel arasındaki uzaklık w olacak şekilde dalga leğenine yerleştiriliyor.

Dalgaların dalga boyu λ1< w olduğunda dalgalar aralıktan geçip yollarına aynen devam ederler.

Dalga boyu artırıldığında λ2 = w olduğu anda dalgalar Şekil -II’deki gibi dağılmaya başlarlar.

Dalgaların dalga boyu iyice artırıldığında λ3 > w olduğunda bu dağılmanın daha da arttığı gözlenir. Doğrusal dalgaların, dalga boyundan eşit veya küçük bir aralıktan geçerken dağılması olayına kırınımdenir. Şekil-III’te de bu durum gösterilmiştir.

Kırınım olayı ışıkta da gözlenir. Işığın çok küçük aralıktan (10–4 m) geçerken dağılması olayına benzetilebilir.

Su dalgalarında dalga boyu λ = V/f dir. λ’yı artırmak için kaynağın frekansının (f) azaltılması gerekmektedir.

Kırınım olayında frekans arttıkça λ azalır ve engellerden geçen dalgaların eğilmeleri azalır. Yani dalgalar frekansın artması ile kırınıma uğramaz.

V/f > w olduğunda eğilmeler tamamen kaybolur. Şekil-IV’teki gibi engellerin arkasında dalga gözlenemez.

Bu olay da ışıktaki gölge olayına benzetilebilir. Kaynağın önüne saydam olmayan engel konulduğunda perde üzerinde gölge oluşur. Tüm bu olaylar bize kırınım olayında ışığın dalga gibi davrandığını gösterir.

• Kırılma ile kırınım tamamen farklıdır. Kırılma, dalgaların bir ortamdan başka bir ortama geçerken doğrultu değiştirme olayına denir. Kırınım ise dalgaların dalga boyuna eşit veya daha küçük bir aralıktan geçerken dağılması olayıdır.
• Kırınım olayının gözlenebilmesi için şartı w / λ ≤ 1 şartı sağlanmalıdır.

Su Dalgalarında Girişim

Derinliği her yerde aynı olan bir dalga leğeninde aralarında d kadar uzaklık bulunan iki kaynakla aynı periyotlu dalgalar oluşturulduğunda bu dalgaların karşılaşması sonucu gözlenen şekle girişim denir.

Girişim deseni, tepeler ile çukurların karşılaşması ile meydana gelen genlikleri farklı birçok noktadan meydana gelir.

Bu noktalardan üçünü tanımlamak mümkündür.

A noktaları: Her iki dalga kaynağından gelen tepelerin oluşturduğu yerler çift tepedir (TT). Maksimum genlikte titreşen noktalardır.

B noktaları: Her iki dalga kaynağından gelen çukurların oluşturduğu yerler çift çukurdur (ÇÇ). Maksimum genlikte titreşen noktalardır.

C noktaları: Bir dalga kaynağından gelen dalga tepesi ile diğer dalga kaynağından gelen dalga çukurunun birbirini söndürdüğü hareketsiz noktalardır (TÇ). Bu noktalar titreşimsizdir.

Dalga Katarları

Dalga katarının (karın çizgisi) özellikleri

O Kaynakların tam ortasındaki çizgiye merkez doğrusu denir. Çift tepe ve çift çukurların birleşmesiyle elde edilen noktalar birleştirildiğinde elde edilen çizgiye dalga katarı (karın çizgisi) denir. Merkez doğrusu da çift tepe ve çift çukurların birleşmesiyle elde edilen çizgi olduğundan bir dalga katarıdır. Merkez doğrusu üzerindeki noktaların kaynaklara olan uzaklıkları eşit olduğundan yol farkı sıfırdır.

Çift tepe ve çift çukurlar sürekli olarak hareket ederler. T/2 saniyede yer değiştirerek kayma oluştururlar.

Merkez doğrusunun sağında ve solunda kalan karın çizgileri hiperbol şeklinde ve merkez doğrusuna göre simetriktir.

1. dalga katarı çizgisinin (karın çizgisinin) üzerindeki noktalar için yol farkı λ, 2. katar çizgisi için 2λ, 3. katar çizgisi için 3λ’dır.

P noktasının kaynaklara olan yol farkı, dalga boyunun tam katına eşitse P noktası n. dalga katarı üzerinde çift tepe (TT) veya çift çukur (ÇÇ) noktasından biridir. Dalga katarları için yol farkı,

Yol farkı = |PK1 – PK2| = n . λ eşitliği ile bulunur.

O Kaynakları birleştiren doğru üzerindeki ardışık iki dalga katarı çizgisi arasındaki uzaklık λ/2’dir. Kaynaklar arasındaki uzaklık d ise K1 ve K2 kaynaklarının merkez doğrusuna olan uzaklıkları d/2’dir.

Düğüm Çizgileri

Düğüm (sönüm) çizgisinin özellikleri

O Girişim deseninde herhangi bir kaynaktan çıkan dalga tepesi ile diğer kaynaktan çıkan dalga çukurunun birleştiği noktaya düğüm (sönüm) noktası denir. Düğüm noktalarının birleşmesiyle elde edilen çizgiye düğüm çizgisi denir.

Tepe ve çukur noktalarının birleşmesi sonucu oluşan düğüm noktaları hareketsizdir.

Merkez doğrusunun sağında ve solunda kalan düğüm çizgisi ile karın çizgileri hiperbol şeklindedir ve merkez doğrusuna göre simetriktirler.

1. düğüm çizgisinin üzerindeki noktalar için yol farkı 0,5λ, 2. Düğüm çizgisi için 1,5λ, 3.düğüm çizgisi için 2,5λ dır. P noktasının kaynaklara olan yol farkı, dalga boyunun tam katına eşit değilse P noktası düğüm çizgisi üzerinde bir düğüm (sönüm) noktasıdır. Düğüm çizgileri için yol farkı,

Yol farkı = |PK1 – PK2| = (n - 1/2) . λ eşitliği ile bulunur. n = 1, 2, 3, . . . gibi tam sayılardır.

Kaynakları birleştiren doğru üzerindeki ardışık iki düğüm çizgisi arasındaki uzaklık λ/2 dir. Merkez doğrusu dalga katarı olduğundan merkez doğrusu ile 1. düğüm çizgisi arasındaki uzaklık λ/4 olur.

.Üçgende Açılar

Üçgende Açılar

Üçgende açılar konusunu iyi anlamak için önce üçgeni iyi anlamamız gerekir. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşim kümesine üçgen denir.

Üçgende açılar konusunu iyi anlamamız için bir önceki konu olan doğruda açılar konusunu da iyi bilmemiz gerekir. Zaten üçgendeki açı problemlerinin önemli bir kısmı da bu konudan edindiğimiz bilgi ile çözülmektedir.

Şekildeki ABC üçgeninde [AB], [AC] ve [BC] üçgenin kenarlarıdır. Bu üç doğru parçasının birleşmesiyle bir üçgen ortaya çıkmıştır. Küçük harfle gösterilen a, b, ve c üçgenin iç açılarıdır. Yine aynı şekilde x, y ve z de üçgenin dış açılarıdır. Üçgende iç ve dış açılar, kenarlar temel elemanlardır.

Üçgende Açılar İçin Yardımcı Elemanlar

Üçgende birçok yardımcı elemanlar vardır. Bu yardımcı elemanlar üçgene çeşitli özellikler katarlar. Bu şekilde ortaya çıkan yeni yapılarda  açıları hesaplamaya çalışırız.

Üçgende Açıortay

Açıortay kavramını geometrik kavramlar ve doğruda açılar konusunda gördük. Burada da değişen bir şey yok. Açıyı eşit iki parçaya ayıran doğru parçasına açıortay denir. Üçgende olduğu zaman eğer iç açıyı ikiye bölüyorsa iç açıortay, eğer dış açıyı ikiye bölüyorsa dış açıortay şeklinde tanımlanır.

Üçgende Kenarortay

Kenarortay kenarı iki eşit parçaya ayıran ve karşıdaki köşeden çıkan doğru parçasıdır. Üçgende açılar konusunda açıortayla birlikte çok kullanılan elemanlardan biridir.

Kenar Orta Dikme

Bir kenarı ortadan iki eşit parçaya ayıran doğru eğer dikse buna kenarortay dikme denir.

Yükseklik

Bir kenara dik bir şekilde karşı köşeden çıkan doğru parçasına denir. Yükseklik üçgen içinde olabildiği gibi üçgen dışında da olabilir. Üçgende alan hesaplamalarında çokça kullanılır.

Üçgende Açı ve Kenarlara Göre Sınıflandırılma

Üçgenler açı ve kenarlarına göre sınıflandırılabilirler. Açılarına göre üçgenler dar açılı üçgen, dik açılı üçgen ve geniş açılı üçgen şeklinde sınıflandırılır. Kenarlarına göre ise çeşitkenar üçgen, ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgen şeklinde sınıflandırılır.

Dar Açılı Üçgen

Üç açısının hepsi 90 dereceden küçük olan üçgen dar açılı üçgendir. Kağıda düzgün bir şekilde çizdiğimiz üçgen genellikle dar açılı üçgen olur.

Yukarıdaki üçgende α, β ve θ açıları 90 dereceden küçüktür. Bu nedende bu üçgen dar açılı bir üçgendir.

Dik Üçgen

Bir açısı 90 derece olan üçgene denir. 90 derecelik açıyı oluşturan kenarlara dik kenar denir. 90 derecelik açının karşısındaki kenar ise en uzun kenardır ve bu kenara hipotenüs denir.

Geniş Açılı Üçgen

Açılardan birinin ölçüsü 90 dereceden daha büyük olan üçgen şeklidir. Bir açı geniş olduğu için diğer açılar genellikle oldukça dar olmaktadır.

Geniş açılı üçgende yüksekliklerden bazıları üçgen dışarısında olmaktadır.

Çeşitkenar Üçgen

Kenar uzunlukları farkı ölçülerde olan üçgenlere çeşitkenar üçgen denir. Üçgenlerde açılar kenar uzunluklarıyla doğru orantılı olduğu için farklı kenarlar farklı açı ölçüleri demektir. Yani çeşitkenar bir üçgende hem 3 kenar uzunluğu hem de 3 açı ölçüsü farklıdır. Aksi belirtilmediği sürece biz üçgenleri çeşitkenar üçgen olarak varsayarız.

İkizkenar Üçgen

Kenarlarda ikisinin uzunluğu birbirine eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da doğal olarak birbirine eşit olmaktadır. İkizkenar üçgende eşit kenarların eşitliğini gösteren bir simge genellikle her iki kenar üzerinde de bulunur.

Eşkenar Üçgen

Üç kenarı da eşit uzunlukta olan üçgene eşkenar üçgen denir. Eşkenar üçgende üç kenar da eşit uzunluktadır. Bunun sonucunda üç açısın ölçüsü de eşit olmaktadır. Bir üçgenin iç açıları toplam derecesi 180 olduğuna göre bir eşkenar üçgende her bir açının ölçüsü de 60 derece olacaktır.

Üçgende Açı Özellikleri

Yukarıdaki üçgende açılar için gerekli kavram bilgisi verilmiştir. Üçgende açı sorularının çözülebilmesi için üçgende açı özelliklerinin kavranması gerekir. Üçgende açı özellikleri birbiriyle bağlantılı olan çok sayıda açı kurallarından oluşmuştur. Aşağıda liste halinde en yaygın üçgende açı özellikleri bulunmaktadır.

• Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
• Bir üçgenin dış açıları toplamı 360 derecedir.
• Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
• Eşit uzunluktaki kenara bakan açıların ölçüleri eşittir.
• Eşkenar üçgenin bütün açıları 60 derece ve bütün kenar uzunlukları eşittir.
• Bir üçgenin iç açıortayları bir noktada kesişirler.
• Bütünler iki açının açıortayları arasındaki ölçü 90 derecedir.

Yukarıdaki kurallar baz alınarak ve bu kurallardan çıkan sonuçlar kullanılarak bütün üçgende açı problemleri çözülebilir. Şimdi üçgende açı özelliklerinin uygulama alanlarını gösterelim.

Yukarıdaki şekilde gördüğünüz gibi ölçüsü x ve y olan iki iç açıya komşu olmayan dış açının ölçüsü x + y olmaktadır. Aslında bu kural bir üçgenin iç açıları toplamı ile bir doğru açının ölüsünün aynı ve 180 derece olmasından kaynaklanmaktadır. Diğer açının ölçüsüne mesela z dersek hem üçgen açıları toplamı hem de doğru açının ölçüsü x + y + z = 180 olur.

Şimdi gerçek sayılarla bununla ilgili bir örnek çözelim.

Yukarıdaki üçgende ölçüsü x olan DAC açısı verilmiştir. Buna göre x kaç derecedir?

Çözüm: Bir dış açının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamının ölçüsüne eşit olduğunu biliyoruz. Buradan da x = 60 + 35 = 95 derece olur.

İkinci yol: Herhangi bir kurala bağlı kalmadan sadece üçgen iç açıları toplamının 180 olduğunu bilsek de yeterlidir. İki açının ölçüsünün toplamı 95 derece olduğuna göre üçüncü ölçüsü 85 derece olacaktır. Üçüncü açısının dış açısı olan x ise 85 derecenin bütünleridir. Çünkü ikisi birlikte bir doğru açı oluşturmaktadır. Bu nedenle bu açının ölçüsü 180 - 85 = 95 derece olur yine.

Gördüğünüz gibi bir kuralın geliş noktasını bilirseniz bunu ezberinizde tutmak zorunda da kalmazsınız. Üçgende açı problemlerini hep bu mantıkla çözmeliyiz.

Yukarıdaki konkav dörtgen yine bir kuralı ifade etmektedir. Aslında bu kural da aynı mantıklı ortaya çıkmaktadır. C noktasından karşı kenara bir doğru parçası çizdiğinizde ve bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir kuralını uyguladığınız zaman elinize aynı form gelecektir.

Üçgende açılara ait başka bir özelliği kullanıp bir örnek soru daha çözelim.

Yukarıdaki üçgende komşu iç ve dış açıortaylar verilmiş ve x açısının ölçüsü sorulmaktadır.

Çözüm: Dikkat ederseniz ortadan açıortayla ikiye ayrılmış iki açının bütünler açılar olduğunu fark edersiniz. Bütünler açıların toplam ölçüsü 180 derecedir. Yani bu soruda nokta ve çizgiyle gösterilen açılardan 2 nokta açısı + 2 çizgi açısı = 180 derecedir. Bu durumda 1 nokta + 1 çizgi açısı = 90 olur. Yani (NAD) açısının ölçüsü 90 derecedir. Bu durumda 90 + 28 = 118 derece yapmaktadır. Dikkat ederseniz bu iki açıya x açısını da eklediğimizde bir üçgen ortaya çıkmaktadır. Bu durumda x =180 - 118 = 62 derece olur.

Bu örnek soruda da aslında mantığımızı kullanarak yukarıda bahsettiğimiz başka bir kuralı ortaya çıkardık. Bütünler iki açının açıortaylarının toplamının 90 derece olduğunu yukarıda zaten söylemiştik.

Üçgende Açılar Soru Çözüm Yöntemleri

Üçgende açılar sorularını çözerken takip edilmesi gereken bazı önemli yöntemler vardır. Bu yöntemleri takip etmek üçgende açılar konusuna ait soru çözümünü en iyi şekilde yapmayı sağlar. Öncelikle bütün geometri konularında olduğu gibi işleme başlamadan önce soru kısmını detaylı bir şekilde okumalısınız. Çünkü üçgen şeklin üstünde belirtilmemiş bazı bilgiler soruda verilmiş olabilmektedir.

Geometri sorularında işlem yapmaktan kaçınmamak gerekir. Bu işlem yapma boş açı ve uzunluklara harfler vererek denklem eşitlikleri elde etme şeklinde olmaktadır. Ayrıca üçgende açı sorularında gerekli gördüğünüz yerde çizgiler çizerek yeni üçgenler elde etmekten kaçınmamalısınız. Bu şekilde soruyu daha kolay bir forma getirebilirsiniz.

Aşağıda 2009 yılında üniversite sınavının ikinci bölümünde çıkmış bir üçgende açılar sorusu bulunmaktadır.

Gördüğünüz gibi soru gayet standart bir üçgende açılar sorusudur. Her zamanki gibi belirli bilgiler verilmiş ve x açısının ölçüsü sizden istenmektedir. Bu sorunun çözümünü açılara harfler vererek gerçekleştirelim.

Çözüm: DAC üçgeni için 65 derecelik açı bir dış açıdır. Dolayısıyla kendisine komşu olmayan a ve b açılarının toplamına eşittir.

Bu durumda a + b = 65 olur. Şimdi en büyük üçgene baktığımız zaman ise x + a + a + b + b = 180 eşitliğini rahatlıkla kurabiliriz. Bu durumda x + 2(a+b) = 180 olacaktır. Yukarıda elde ettiğimiz eşitliği kullanırsak da x + 2.65 = 180 ⇒ x + 130 = 180 ⇒ x = 50 derece eşitliğini elde ederiz. 

Bu örnek soruda görüldüğü gibi bilmediğimiz açılara harf verip eşitlik kurmak üçgende açılar soruları için çok önemlidir. Elde edilecek olan eşitlikler birinci dereceden basit denklemler olacaktır.