.Üçgende Açılar

Üçgende Açılar

Üçgende açılar konusunu iyi anlamak için önce üçgeni iyi anlamamız gerekir. Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşim kümesine üçgen denir.

Üçgende açılar konusunu iyi anlamamız için bir önceki konu olan doğruda açılar konusunu da iyi bilmemiz gerekir. Zaten üçgendeki açı problemlerinin önemli bir kısmı da bu konudan edindiğimiz bilgi ile çözülmektedir.

Şekildeki ABC üçgeninde [AB], [AC] ve [BC] üçgenin kenarlarıdır. Bu üç doğru parçasının birleşmesiyle bir üçgen ortaya çıkmıştır. Küçük harfle gösterilen a, b, ve c üçgenin iç açılarıdır. Yine aynı şekilde x, y ve z de üçgenin dış açılarıdır. Üçgende iç ve dış açılar, kenarlar temel elemanlardır.

Üçgende Açılar İçin Yardımcı Elemanlar

Üçgende birçok yardımcı elemanlar vardır. Bu yardımcı elemanlar üçgene çeşitli özellikler katarlar. Bu şekilde ortaya çıkan yeni yapılarda  açıları hesaplamaya çalışırız.

Üçgende Açıortay

Açıortay kavramını geometrik kavramlar ve doğruda açılar konusunda gördük. Burada da değişen bir şey yok. Açıyı eşit iki parçaya ayıran doğru parçasına açıortay denir. Üçgende olduğu zaman eğer iç açıyı ikiye bölüyorsa iç açıortay, eğer dış açıyı ikiye bölüyorsa dış açıortay şeklinde tanımlanır.

Üçgende Kenarortay

Kenarortay kenarı iki eşit parçaya ayıran ve karşıdaki köşeden çıkan doğru parçasıdır. Üçgende açılar konusunda açıortayla birlikte çok kullanılan elemanlardan biridir.

Kenar Orta Dikme

Bir kenarı ortadan iki eşit parçaya ayıran doğru eğer dikse buna kenarortay dikme denir.

Yükseklik

Bir kenara dik bir şekilde karşı köşeden çıkan doğru parçasına denir. Yükseklik üçgen içinde olabildiği gibi üçgen dışında da olabilir. Üçgende alan hesaplamalarında çokça kullanılır.

Üçgende Açı ve Kenarlara Göre Sınıflandırılma

Üçgenler açı ve kenarlarına göre sınıflandırılabilirler. Açılarına göre üçgenler dar açılı üçgen, dik açılı üçgen ve geniş açılı üçgen şeklinde sınıflandırılır. Kenarlarına göre ise çeşitkenar üçgen, ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgen şeklinde sınıflandırılır.

Dar Açılı Üçgen

Üç açısının hepsi 90 dereceden küçük olan üçgen dar açılı üçgendir. Kağıda düzgün bir şekilde çizdiğimiz üçgen genellikle dar açılı üçgen olur.

Yukarıdaki üçgende α, β ve θ açıları 90 dereceden küçüktür. Bu nedende bu üçgen dar açılı bir üçgendir.

Dik Üçgen

Bir açısı 90 derece olan üçgene denir. 90 derecelik açıyı oluşturan kenarlara dik kenar denir. 90 derecelik açının karşısındaki kenar ise en uzun kenardır ve bu kenara hipotenüs denir.

Geniş Açılı Üçgen

Açılardan birinin ölçüsü 90 dereceden daha büyük olan üçgen şeklidir. Bir açı geniş olduğu için diğer açılar genellikle oldukça dar olmaktadır.

Geniş açılı üçgende yüksekliklerden bazıları üçgen dışarısında olmaktadır.

Çeşitkenar Üçgen

Kenar uzunlukları farkı ölçülerde olan üçgenlere çeşitkenar üçgen denir. Üçgenlerde açılar kenar uzunluklarıyla doğru orantılı olduğu için farklı kenarlar farklı açı ölçüleri demektir. Yani çeşitkenar bir üçgende hem 3 kenar uzunluğu hem de 3 açı ölçüsü farklıdır. Aksi belirtilmediği sürece biz üçgenleri çeşitkenar üçgen olarak varsayarız.

İkizkenar Üçgen

Kenarlarda ikisinin uzunluğu birbirine eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir. İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da doğal olarak birbirine eşit olmaktadır. İkizkenar üçgende eşit kenarların eşitliğini gösteren bir simge genellikle her iki kenar üzerinde de bulunur.

Eşkenar Üçgen

Üç kenarı da eşit uzunlukta olan üçgene eşkenar üçgen denir. Eşkenar üçgende üç kenar da eşit uzunluktadır. Bunun sonucunda üç açısın ölçüsü de eşit olmaktadır. Bir üçgenin iç açıları toplam derecesi 180 olduğuna göre bir eşkenar üçgende her bir açının ölçüsü de 60 derece olacaktır.

Üçgende Açı Özellikleri

Yukarıdaki üçgende açılar için gerekli kavram bilgisi verilmiştir. Üçgende açı sorularının çözülebilmesi için üçgende açı özelliklerinin kavranması gerekir. Üçgende açı özellikleri birbiriyle bağlantılı olan çok sayıda açı kurallarından oluşmuştur. Aşağıda liste halinde en yaygın üçgende açı özellikleri bulunmaktadır.

• Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.
• Bir üçgenin dış açıları toplamı 360 derecedir.
• Bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
• Eşit uzunluktaki kenara bakan açıların ölçüleri eşittir.
• Eşkenar üçgenin bütün açıları 60 derece ve bütün kenar uzunlukları eşittir.
• Bir üçgenin iç açıortayları bir noktada kesişirler.
• Bütünler iki açının açıortayları arasındaki ölçü 90 derecedir.

Yukarıdaki kurallar baz alınarak ve bu kurallardan çıkan sonuçlar kullanılarak bütün üçgende açı problemleri çözülebilir. Şimdi üçgende açı özelliklerinin uygulama alanlarını gösterelim.

Yukarıdaki şekilde gördüğünüz gibi ölçüsü x ve y olan iki iç açıya komşu olmayan dış açının ölçüsü x + y olmaktadır. Aslında bu kural bir üçgenin iç açıları toplamı ile bir doğru açının ölüsünün aynı ve 180 derece olmasından kaynaklanmaktadır. Diğer açının ölçüsüne mesela z dersek hem üçgen açıları toplamı hem de doğru açının ölçüsü x + y + z = 180 olur.

Şimdi gerçek sayılarla bununla ilgili bir örnek çözelim.

Yukarıdaki üçgende ölçüsü x olan DAC açısı verilmiştir. Buna göre x kaç derecedir?

Çözüm: Bir dış açının kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamının ölçüsüne eşit olduğunu biliyoruz. Buradan da x = 60 + 35 = 95 derece olur.

İkinci yol: Herhangi bir kurala bağlı kalmadan sadece üçgen iç açıları toplamının 180 olduğunu bilsek de yeterlidir. İki açının ölçüsünün toplamı 95 derece olduğuna göre üçüncü ölçüsü 85 derece olacaktır. Üçüncü açısının dış açısı olan x ise 85 derecenin bütünleridir. Çünkü ikisi birlikte bir doğru açı oluşturmaktadır. Bu nedenle bu açının ölçüsü 180 - 85 = 95 derece olur yine.

Gördüğünüz gibi bir kuralın geliş noktasını bilirseniz bunu ezberinizde tutmak zorunda da kalmazsınız. Üçgende açı problemlerini hep bu mantıkla çözmeliyiz.

Yukarıdaki konkav dörtgen yine bir kuralı ifade etmektedir. Aslında bu kural da aynı mantıklı ortaya çıkmaktadır. C noktasından karşı kenara bir doğru parçası çizdiğinizde ve bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir kuralını uyguladığınız zaman elinize aynı form gelecektir.

Üçgende açılara ait başka bir özelliği kullanıp bir örnek soru daha çözelim.

Yukarıdaki üçgende komşu iç ve dış açıortaylar verilmiş ve x açısının ölçüsü sorulmaktadır.

Çözüm: Dikkat ederseniz ortadan açıortayla ikiye ayrılmış iki açının bütünler açılar olduğunu fark edersiniz. Bütünler açıların toplam ölçüsü 180 derecedir. Yani bu soruda nokta ve çizgiyle gösterilen açılardan 2 nokta açısı + 2 çizgi açısı = 180 derecedir. Bu durumda 1 nokta + 1 çizgi açısı = 90 olur. Yani (NAD) açısının ölçüsü 90 derecedir. Bu durumda 90 + 28 = 118 derece yapmaktadır. Dikkat ederseniz bu iki açıya x açısını da eklediğimizde bir üçgen ortaya çıkmaktadır. Bu durumda x =180 - 118 = 62 derece olur.

Bu örnek soruda da aslında mantığımızı kullanarak yukarıda bahsettiğimiz başka bir kuralı ortaya çıkardık. Bütünler iki açının açıortaylarının toplamının 90 derece olduğunu yukarıda zaten söylemiştik.

Üçgende Açılar Soru Çözüm Yöntemleri

Üçgende açılar sorularını çözerken takip edilmesi gereken bazı önemli yöntemler vardır. Bu yöntemleri takip etmek üçgende açılar konusuna ait soru çözümünü en iyi şekilde yapmayı sağlar. Öncelikle bütün geometri konularında olduğu gibi işleme başlamadan önce soru kısmını detaylı bir şekilde okumalısınız. Çünkü üçgen şeklin üstünde belirtilmemiş bazı bilgiler soruda verilmiş olabilmektedir.

Geometri sorularında işlem yapmaktan kaçınmamak gerekir. Bu işlem yapma boş açı ve uzunluklara harfler vererek denklem eşitlikleri elde etme şeklinde olmaktadır. Ayrıca üçgende açı sorularında gerekli gördüğünüz yerde çizgiler çizerek yeni üçgenler elde etmekten kaçınmamalısınız. Bu şekilde soruyu daha kolay bir forma getirebilirsiniz.

Aşağıda 2009 yılında üniversite sınavının ikinci bölümünde çıkmış bir üçgende açılar sorusu bulunmaktadır.

Gördüğünüz gibi soru gayet standart bir üçgende açılar sorusudur. Her zamanki gibi belirli bilgiler verilmiş ve x açısının ölçüsü sizden istenmektedir. Bu sorunun çözümünü açılara harfler vererek gerçekleştirelim.

Çözüm: DAC üçgeni için 65 derecelik açı bir dış açıdır. Dolayısıyla kendisine komşu olmayan a ve b açılarının toplamına eşittir.

Bu durumda a + b = 65 olur. Şimdi en büyük üçgene baktığımız zaman ise x + a + a + b + b = 180 eşitliğini rahatlıkla kurabiliriz. Bu durumda x + 2(a+b) = 180 olacaktır. Yukarıda elde ettiğimiz eşitliği kullanırsak da x + 2.65 = 180 ⇒ x + 130 = 180 ⇒ x = 50 derece eşitliğini elde ederiz. 

Bu örnek soruda görüldüğü gibi bilmediğimiz açılara harf verip eşitlik kurmak üçgende açılar soruları için çok önemlidir. Elde edilecek olan eşitlikler birinci dereceden basit denklemler olacaktır.

Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar

Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar

Bu konuda geometri dersinde kullanılan temel kavramlarla birlikte doğrusal bir zeminde (düzlemde) açılar konusu işlenecektir. Bu konuların kavranması geometrinin daha sonra gelen konularının anlaşılması için de önemlidir.

Geometrik Kavramlar

Geometri, Latince bir kelime olup yer ölçüsü ma­nasına gelmektedir, insanların, gördükleri tüm eş­yayı ölçme ihtiyacından doğmuştur. Tarih boyun­ca, medeniyetlerin katkılarıyla ölçme teknikleri geliştirilerek bugünkü geometri bilimine ulaşıl­mıştır.

Geometri tekniklerini iyi öğrenebilmek için, geo­metri ile ilgili kavramları iyice anlamanız gerekir.

Nokta: Nokta, geometrinin en temel kavramıdır ve tanımsızdır. Eni, boyu ve yüksekliği yoktur. Bü­yük harflerle adlandırılır. Tanımsız olduğu için noktayı, ince uçlu bir kalemin ucunun kağıda dokundurulduğunda bıraktığı iz olarak düşünebilir­siniz.

Bir kâğıdı, kat yerleri kesişecek biçimde dörde katlayıp açarsanız kat yerlerinin kesişimi, nokta kavramı için iyi bir modeldir.

Doğru: Noktada olduğu gibi, doğrunun da bir tanımı yoktur. Bir kâğıdı ikiye katlayıp açtığımız­da elde edilen kat yeri doğruyu modeller. Doğru­nun sadece boyu vardır ve her iki yönde sonsuza uzar.

A ve B noktalarından geçen doğru AB olarak gösterilir ve "AB doğrusu" olarak okunur. A ve B noktalarının ikisinden AB doğrusu dışında başka bir doğru da geçmez. Çünkü iki nok­tadan yalnız bir doğru geçer.

Doğrular bazen küçük harflerle de gösterilebilir. Yani üzerinde bulunan harfler belirtilmeden doğrudan d doğrusu diye adlandırılıbilirler.

Aşağıdaki şekilde verilen ℓ doğrusu A noktasından geçtiği için, "A noktası ℓ doğrusu üzerindedir." denir ve A ∈  ℓ şeklinde gösterilir. B noktası ℓ doğrusu üzerinde olmadığı için, bu durum B ∉ ℓ şeklinde gösterilir.

Noktaların Doğrusallığı

Şekildeki ℓ doğrusu üzerinde verilen A, B, C nok­taları aynı doğru üzerinde bulunduğundan "A, B ve C noktaları doğrusaldır." denir. A, B ve D nok­taları ya da B, C ve D noktaları aynı doğru üzerin­de bulunamayacağı için bu noktalar doğrusal de­ğildir. A, C ve D noktalarının üçünden de geçen bir doğru çizebilir misiniz? Kesinlikle çizemezsiniz. Çizmeye kalktığınızda çizdiğiniz şey bir doğru olmayacaktır.

Düzlem: Düzlem de nokta ve doğru gibi tanım­sız bir terimdir. Düzgün bir masanın yüzeyini zih­ninizde sınırsız olarak büyütünüz. O kadar çok bü­yütün ki kenarları artık gözükmez olsun. Zihniniz­de oluşan kalınlıksız yüzey, düzlem için iyi bir mo­deldir.

Düzlemler paralelkenar ile gösterilir. E, F, K gibi büyük harflerle adlandırılır. Düzlemler de doğru ve noktalar gibi farklı konum­larda bulunabilirler. Karşımızdaki duvar düşey düzlem, yerin zemini yatay düzlemdir. Sınıftaki yazı tahtası da iyi bir düzlem örneğidir.

Düzlemde her şey iki boyutludur. Bir düzleme çizdiğiniz şeklin eni ve boyu olabilir ancak ona üçüncü boyutu veren yüksekliği olmaz. Sınıf tahtasına işaret parmağınızı dik bir şekilde koyarsanız o zaman düzleme yükseklik kazandırmış olursunuz.

Doğruların Paralelliği

Aynı düzlemde bulunan ve kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir. İki doğru aynı düzlemdeyse ya paralellerdir ya da kesişirler. Paralel iki doğru sonsuza kadar giderler ve hiçbir noktada kesişmezler.

Doğruların Kesişmesi

İki doğru ortak tek bir nokta barındırıyorsa bu doğrular o noktada kesişiyor demektir. Paralel olmayan iki doğru aynı düzlemdelerse mutlaka kesişeceklerdir. Tek bir nokta diye belirtmemizin nedeni ise şudur: Eğer iki doğrunun bütün noktaları aynıysa o zaman üst üste çizilmiş iki doğrudan bahsetmekteyizdir. Bu doğrulara da çakışık doğrular deriz.

Doğru parçası: Bir doğru üzerinde başlangıç ve bitiş noktası belli olan parçaya doğru parçası denir. Doğru parçası köşeli parantezle gösterilir. A noktasından B noktasına giden bir doğru parçasını [AB] doğru parçası diye adlandırırız. Doğru parçasının üzerindeki noktalar doğrusaldır. Doğru parçasının uzunluğu ise mutlak değer sembolüyle gösterilir. [AB] doğru parçasının uzunluğunu |AB| diye gösteririz.

Koordinat Doğrusu

Gerçek sayıların, bir doğrunun noktaları ile bire­bir eşlenmesi ile oluşturulan sayı doğrusuna koordinat doğrusu, doğrunun üzerinde 0 sayısına karşılık gelen nok­taya başlangıç noktası (orijin) denir. Herhangi bir noktaya karşılık gelen gerçek sayıya bu noktanın koordinatı adı verilir.

İki Nokta Arası Uzaklık

Koordinatları A(a) ve B(b) olan iki nokta arasın­daki uzaklık d(A, B) olarak ifade edilir ve bu uzunluk d(A, B) = |b - a| eşitliğiyle bulunur.

|x| ifadesi ise, x sayısının sıfıra olan uzaklığını verir. Ayrıca, uzunluğu eşit olan doğru parçaları­na eş doğru parçaları denir.

Işın: Bir doğru üzerindeki sabit bir noktadan başlayan yönlü doğru parçasına denir. Doğru parçasından farklı yönlü olmasıdır. Yani bir tarafa doğru sonsuza kadar gider. Bir noktanın bir yere ışınlanması şeklinde akılda tutulabilir. Işın da köşeli parantezle gösterilir. Ancak ışının bir bitiş noktası olmadığı için bir tarafında parantez bulunmaz. Örneğin [AB ışını A noktasından başlayıp B noktasından geçerek sonsuza kadar giden bir noktalar kümesidir.

Aynı yerden başlayan iki ışın bir açıyı oluşturur. Işınlar üst üste çakışık durumdaysa aradaki açı 0 olur.

Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşim kümesine açı; açıyı oluşturan ışınların her birine açının kenarları (veya kolları) ve bu iki ışının ortak olan başlangıç noktasına açının köşesi denir.

Şekilde [OA ve [OB ışınla­rı açının kolları, O noktası ise açının köşesidir.

Burada [OA ve [OB ışınlarının oluşturduğu açı, AOB şeklinde gösterilir ve "AOB açısı" diye oku­nur. Açılar isimlendirilirken açının köşesi ve ke­narları üzerindeki noktalar kullanılır. Şekildeki açı AOB açısı, BOA açısı veya sadece O açısı şeklinde isimlendirilir.

Açı Ölçüm Birimleri

Geometride en çok kullanılan açı ölçüm birimi derecedir. Doğruda açılar konusundan başlayarak en karmaşık geometri konusuna kadar derece kavramıyla karşılaşırız. Bir çember 360 dereceyi ifade eder. Bir doğru ise 180 dereceyi. 1 derecenin 60'ta birine 1 dakika (1') denir. 1 dakikanın ise 60'ta birine ise 1 saniye (1'') denir. Dereceden sonra en çok kullanılan açı ölçü birimi ise radyandır. Radyan bir çemberin çevresinin 2π ile orantılı olduğunu bilgisinden kaynaklanır. 2π = 360° şeklinde bir eşitlik kurabiliriz.

Açıortay

Bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışına verilen addır. Açıortay sonraki konularda da işimize çok yarayacak bir geometrik kavramdır.

Şekilde [OC ışını AOB açısının açıortayıdır. Yani sağında ve solunda kalan iki açı da eşit derecede ve AOB açısının yarısı kadardır. Birbirine hemen komşu olan açıortayla ya da herhangi bir ışınla ayrılmış açılara ise komşu açılar deriz.

Yukarıdaki şekilde BAC açısı ile CAD açısı birer komşu açıdır.

Ölçülerine Göre Açı Türleri

Açıları sınıflandırırken birden fazla parametre kullanılır. Ancak açının genişliği açı türlerini belirlemek için temel kriterdir. Dar açı, dik açı, geniş açı, doğru açı, tam açı en bilinen açı türleridir. Bu açılar oluşturulurken açı genişlikleri esas alınmıştır.

Ölçüsü 0 ile 90 derece arasında olan açılara dar açı denir.

Ölçüsü 90 derece olan açılara dik açı denir.

Ölçüsü 90 derece ile 180 derece arasında olan açılara geniş açı denir.

Ölçüsü 180 derece olan açıya doğru açı denir. 180 derecelik bir açı bir doğru belirtir.

Ölçüsü 360 derece olan açıya tam açı denir. Tam açı bir çember ölçüsü şeklindedir.

Ters Açı, Tümler Açı, Bütünler Açı

Açıların birbirlerine göre durumları da önemlidir. Ters açı, tümler açı ve bütünler açı açıların birbirlerine göre konumlarından dolayı ortaya çıkmış geometrik kavramlardır.

Ters açıların ölçüsü birbirine eşit olur. Tümler açıların toplamı 90 derecedir. Bütünler açıların toplamı ise 180 derecedir. Buradan şu sonucu çıkarabiliriz. Eğer iki tümler açı komşuysa ikisi birlikte bir dik açı oluşturur. Aynı şekilde bütünler iki açı da bir doğru açı oluşturur.

Tümler ve bütünler açılar ile ilgi çeşitli problemler karşımıza çıkmaktadır. Bu problemleri bu açıların toplamından faydanalarak denklem kurma yoluyla çözeriz.

Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

Doğruda açılar konusu ile ilgili sorular daha çok bu başlık altında sorulmaktadır. Paralel iki doğruyu başka bir doğru ile kestiğimiz zaman ortaya 8 tane açı çıkar. Bu açılar arasındaki ilişkiler de oldukça önemlidir.

Şekilde k doğrusu paralel olan d1 ve d2 doğrusunu keserek 8 tane açı ortaya çıkarmaktadır. Ortaya çıkan açılar arasında çeşitli eşitlikler vardır.

1=5, 2=6, 3=7, 4=8 (Yöndeş açılar eşittir.)

3=5, 4=6 (İç ters açılar eşittir.)

1=7, 2=8 (Dış ters açılar eşittir.)

1=3, 2=4, 5=7, 6=8 (Ters açılar eşittir.)

Sonuç olarak 1=3=5=7 ve 2=4=6=8 olmak üzere iki farklı büyüklükte açılar çıkar. Bu iki açıların toplamı da 180 derece olduğu için bu açılar bütünler açılardır. Yani 1 ile 2 ya da 1 ile 4 bütünler açılardır diyebiliriz.