Modüler Aritmetik
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } kümesinde tanımlanan
β = {(x,y) : m | (x - y), m Î Z+ - {1} ve x, y Î Z}
bağınıtısı denklik bağıntısıdır. β, denklik bağıntısı olduğundan, ∀ (x, y) Î β için x ≡ y (mod m) dir.
Diğer bir ifadeyle, x in m ye bölümünden kalan y ise modül m ye göre x, y ye denktir denir ve x ≡ y (mod m) şeklinde gösterilir.
Örnek:
25 ≡ 4 (mod 7) ğ 25 in 7 ile bölümünde kalan 4 tür.
35 ≡ 8 (mod 9) ğ 35 in 9 ile bölümünde kalan 8 dir.
38 ≡ 2 (mod 6) ğ 38 in 6 ile bölümünde kalan 2 dir.
Kural:
x ≡ y (mod m) ve z ≡ t (mod m) olsun.
- x + z ≡ y + t (mod m)
- x - z ≡ y - t (mod m)
- x.z ≡ y.z (mod m)
- k.x ≡ k.y (mod m)
- xn ≡ yn (mod m) , n Î
Örnek:
257 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.
Çözüm:
257 sayısının 5 ile bölümünden kalan x ise 257 ≡ x (mod 5) tir.
257 ≡ x (mod 5)
21 ≡ 2 (mod 5)
22 ≡ 4 (mod 5)
23 ≡ 3 (mod 5)
24 ≡ 1 (mod 5) *
2 nin 4. kuvveti 1 olduğuna göre, 4 ün katı olan kuvvetlerinde 1 dir.Bunun için üssün 4 e bölümünden kalan bulunur. Buradan sonuca gidilir.
57 = 4.14 + 1 olduğuna göre sonuç 21 dir.
257 ≡ (24)14 21 (mod 5)
≡ 113.21 (mod 5)
≡ 1.21 (mod 5)
≡ 2 (mod 5) dir.
Örnek:
334 sayısının birler basamağının kaç olduğunu bulalım.
Çözüm:
Bir sayının 10 a bölümünden kalan rakam, o sayının birler basamağındaki rakamdır. Buna göre ,
334 ≡ x (mod 10) ise x i bulmalıyız.
31 ≡ 3 (mod 10)
32 ≡ 9 (mod 10)
33 ≡ 7 (mod 10)
34 ≡ 1 (mod 10) *
O halde,
334 ≡ (34)8.32 (mod 10)
≡ 18.32 (mod 10)
≡ 32 (mod 10)
≡ 9 (mod 10) bulunur.
x = 9 dur.
Buna göre, 334 sayısının birler basamağındaki rakam 9 dur.
Kural:
x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı ise
xm-1 ≡ 1 (mod m) dir.
Örnek:
24 ≡ 1 (mod 5)
36 ≡ 1 (mod 7)
510 ≡ 1 (mod 11)
88 ≡ 1 (mod 9)
Görüldüğü gibi kural ciddi kolaylık sağlamaktadır.
Örnek:
31998 ≡ x (mod 5)
olduğuna göre, x değerini bulalım.
Çözüm:
Kural gereği
34 ≡ 1 (mod 5) dir. Buna göre,
31998 ≡ 31996.32 (mod 5)
≡ (34)499.32 (mod 5)
≡ 1499.4 (mod 5)
≡ 1.4 (mod 5)
≡ 4 (mod 5)
Buradan x = 4 olur.
