Mutlak Değer Nedir?

Mutlak Değer

Mutlak değer tanım olarak bir sayının sayı doğrusunda 0 noktasına olan uzaklığıdır. Mutlak değeri anladığımız zaman matematikte uzaklık kavramını da anlamış oluruz. Bir ifadenin mutlak değeri o ifadenin uzaklığı anlamına gelmektedir. Örneğin, |x - y| demek x ve y sayılarının farkının orjine uzaklığı demektir.

Sayı doğrusunda 0 ile 4 noktalarının arası 4 birimdir. Aynı şekilde 0 ile -4 noktalarının arası da 4 birimdir. Öyleyse |-4| = |4| diyebiliriz.

Bu yüzden mutlak değerin içi negatif olsa da uzaklık değerleri negatif olamayacağı için dışarıya pozitif olarak çıkar.

Bu durumu şöyle kurallaştırabiliriz. Eğer mutlak değerinin içi pozitifse dışarı aynen çıkar. Eğer mutlak değerin içi negatif ise dışarı işaret değiştirerek çıkar. Bu durumu bir örnekle açıklayalım. 

Örnek: x < 0 < y olmak üzere |x - y| + |y - x| ifadesini bulunuz. 

Çözüm: Mutlak değer 0 (orjin) noktasına uzaklık demekse ve her zaman pozitif olarak dışarı çıkıyorsa o zaman ilk olarak mutlak değerin içinin işaretini bulmamız gerekir.

x - y ifadesinde x negatif y de pozitif olduğuna göre negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında sonucun yine negatif bir sayı olduğunu biliyoruz. Öyleyse x - y ifadesi negatif bir değere sahiptir ve dışarı işaret değiştirerek çıkar. Yani -(x - y) olur. O da y - x değerine eşittir. 

Bulduğumuz ilk sonuç |x - y| = y - x şeklindedir.

 y - x ifadesini incelersek pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında sonucun pozitif olacağını kolaylıkla fark edebiliriz. Pozitif değerli ifadeler de mutlak değerin dışına aynen çıkar. 

Öyleyse bulduğumuz ikinci sonuç |y - x| = y - x olur. 

Bu iki sonucu birleştirirsek (y - x) + (y - x) = 2(y - x) olur. Bu da 2y - 2x ifadesine eşittir.

Mutlak Değerin Özellikleri

1. |x| ≥ 0
2. |x| = |-x|
3. -|x| ≤ x ≤ |x|
4. |x.y| = |x|.|y|

Bu dört özelliği kullanıp yeni özellikler türetebiliriz. En genel olarak bu dört özelliği bilmemiz diğer özellikleri elde etmemiz için yeterli olacaktır.

|x - a| = b ifadesi x'in b'den a birim kadar uzakta olduğunu ifade eder. Bu uzaklığın pozitif yönde veya negatif yönde olması önemli değildir. 

Örnek: A = |x - 3| + |x + 2| ifadesinin en küçük değeri nedir?

Çözüm: Soruda A'nın en küçük değeri isteniyor. Öyleyse x'in -2 ve 3 aralığında bir değer alması gerekmektedir. Çünkü bu aralağın dışına çıkarsa x uzaklık değerlerinin toplamı daha büyük olacaktır. x'e değer verirken de -2 ≤ x ≤ 3 şeklindeki değer aralığından bir değer seçilir. Mesela 0 değerini alırsak 3 +2 = 5 olur. Aynı şekilde 1 alırsak 2 + 3 = 5 olur. Demek ki sayı doğrusunda bu aralıkta bulunan bütün sayılar A'nın en küçük değerini elde etmemizi sağlıyor.

Yani en küçük değer 5 olur.

Köklü İfadeler

Köklü İfadeler

n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere, xn = a eşitliğini sağlayan x sayısına a nın n. dereceden kökü denir.

a nın n. dereceden kökü n√2 şeklinde gösterilir.

2√a = √a    ;     karekök a

3√a =         ;     küpkök a

4√a            ;     dördüncü dereceden kök a şeklinde dir.

n√a ifadesinnin bir reel sayı olabilmesi için a ≥ 0 ya da n tek sayı olmalıdır. Yani n pozitif çift tam sayı ve a negatif reel sayı ise n√a ifadesi reel sayı değildir.

Örnek:

4√8 - x  ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için, x in hangi şartı sağlaması gerekir?

Çözüm: 

4√8 - x  Î IR ⇒ 8 - x  ≥ 0

                                  8 ≥ x

                                  x ≤ 8 dir.

 Köklü İfadenin Üslü Biçimde Yazılması

 m√an = am/n dir.

Örnek: 

• 3√5 ²  = 52/3
• √8  = 2√2³ = 23/2
• 5√-27 = 5√-33 = -33/5

 a ≥ 0 ve m tek sayı ise m√am = a dır.

Örnek:

• 3√273 = 3√33 = 3 
• 3√-8  = 3√-23 = -2
• 5√1  = 1 dir. 

a ≥ 0 ve m çift sayı ise m√am = |a| dir.

• 4√(-5)4 = |-5| = 5
• 2√(-2)6 = |-2| = 2
• √(-1)2 = |-1| = 1 dir.

Rasyonel Üssün Genişletilmesi ya da Sadeleştirilmesi

k bir doğal sayı ve a > 0 olmak üzere, m√an = m.k√an.k dir.

• √5  = 4√52
• 3√32 = 6√34
• 8√64 = 8√26 = 4√23 dür.

 Bir Sayıyı Kök İçine Alma veya Kök Dışına Çıkarma

t > 0 olmak üzere t. m√a  = m√a.tm dir.

• 2√5  = √5.22 = √20
• 2.3√5  = 3√5.8  = 3√40
• -3.√6  = -√54  ≠ √-54 
• √32  = √2.42 = 4.√2

• √18  = √2.32 = 3√2  dir.

Köklü Sayılarda İşlemlemler

1. Toplama, Çıkarma

Köklerin dereceleri ve içi eşit olan ifadeler, toplanırken ya da çıkarılırken ; katsayılar toplanır yada çıkarılır, sonuç köklü ifadeye katsayı olarak yazılır.

a.m√x  + b.m√x  - c.m√x  = (a + b - c)m√x  dir.

Örnek:

• 4√2  - √2  = 3√2 
• 2√3  + 3√3  = 5√3 
• √27  + √12  = 3√3  + 2√3  = 5√3  dür. 

2. Çarpma, Bölme

 m√x . m√y  = m√x.y 

Köklerin derceleri aynı ise aynı kök içerisinde çarpılır. Kökler aynı değilse önce köklerin dereceleri eşitlenir sonra işlem yapılır.

y ≠ 0 ise,

 m√x  / m√y  = m√x/y   dir.

Köklerin derceleri aynı ise aynı kök içerisinde bölünür. Kökler aynı değilse önce köklerin dereceleri eşitlenir sonra işlem yapılır.

 Örnek:

• √3 .√2  = √6 
• 3√2 .3√18  = 3√36 
• 3√5 .√3  = 6√52. 6√3 3 = 6√25.27  = 6√675 
• √8  / √4  = √8 / 4  = √2 

Köklü Sayılarda Sıralama

a < b ise  n√a  < n√b  dir.

Kökdereceleri aynı ise kökiçi büyük olan daha büyüktür. Kök dereceleri farklı ise önce kök dereceleri eşitlenir, sonra işlem yapılır. Kök dereceleri büyüdükçe sayı küçülür.

Örnek:

• √5  < √8 
• 3√3  < 3√10  < 3√25 
• 3√6  < 2√6 
• 3 > 3√9  > 6√75  > 2

Ebob Ekok

Ebob Ekok

Ortak bölen veya ortak kat kavramları bir birinden farklı en az iki doğal sayı için söz konusudur.

1. Ebob (En Büyük Ortak Bölen)

Birbirinden farklı en az iki doğal sayıyı birlikte bölebilen en büyük doğal sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve ebob ile gösterilir.

2. Ekok (En Küçük Ortak Kat)

Birbirinden farklı en az iki doğal sayıya birlikte bölünebilen en küçük doğal sayıya bu sayıların en küçük ortak katı denir ve ekok ile gösterilir.

Örnek:

48 ve 64 sayılarının ebob unu ve ekok unu bulalım.

Çözüm:

I. Yol:

48 = 3.16 = 3.24

64 = 4.16 = 26

Ebob, ortak asal çarpanlardan üssü küçük olanların çarpımıdır.

Ekok, ortak asal çarpanlardan üssü büyük olanlar ile ortak olmayan çarpanların çarpımıdır.

O halde;

Ebob (48, 64) = 24 = 16 

Ekok (48, 64) = 3.26 = 192 dir.

II. Yol:

48 24 12 6 3 3 3 1

64 32 16 8 4 2 1

2  2 2 2 2 2 3

* * * *

Ebob (48, 64) = 16 ve Ekok (48, 64) = 192 dir.

İki sayının ortak bölenlerinin yanına * işareti konmuştur.

Ebob, yanında * işareti bulunan sayıların çarpımı, Ekok ise bütün bölenlerin çarpımıdır.

x ile y doğal sayı ve x < y ise

a)Ebob (x, y) ≤ x < y ≤ Ekok(x, y) dir.

Ebob (48, 64) ≤ 48 < 64 ≤ Ekok (48, 64)

16 ≤ 48 < 64 ≤  192

b)x.y = Ebob(x, y).Ekok(x, y) dir.

48.64 = Ebob( 48, 64).Ekok (48, 64) = 16.192 = 3072

A ile B aralarında asal iki doğal sayı ise,  Ebob (A, B) = 1     Ekok (A, B) = A.B dir. 

 Örnek:

540 ve 720 sayılarını bölen en büyük sayı A ve bu iki sayıya bölünebilen en küçük sayı B olduğuna göre, A + B toplamını bulalım.

Çözüm:

540 54 3 1

720 72 4 1

10 18 4 3

* *

 A = Ebob (540, 720) = 180     B = Ekok (540, 720) = 2160 dır.

O halde, A + B = 2160 + 180 = 2340 tır.

Örnek:

Kenar uzunlukları 48 ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki tarlanın etrafına ve köşelerine eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.

Buna göre en az kaç ağaç gerektiğini bulalım.

Çözüm:

Ağaç sayısı en az olacağına göre, ağaçlar arasındaki uzunluk en büyük olmalıdır. Komşu iki ağaç arasındaki uzunluk en büyük olacaksa bu uzunluk Ebob (48, 60) dır. 

48 4 1

60 5 5 1

12 4 5

*

Ebob (48, 60) =12 olur.

Buna göre gerekli ağaç sayısı = Bahçenin çevresi / iki ağaç arasındaki uzaklık = 2.(48 + 60) / 12 =216 / 12 = 18 olur.

Örnek:

6 ile bölümünden kalan 3, 8 ile bölümünden kalan 5, 10 ile bölümünden kalan 7 olan en küçük doğal sayıyı bulalım.

Çözüm:

İstenilen sayı A olsun. Bu durumda A + 3 sayısı hem 6, hem 8, hem de 10 ile tam bölünür. 6, 8, 10 ile bölünen en küçük doğal sayı Ekok(6, 8, 10) dur.

Buna göre, 

6 3 3 3 1

8 4 2 1

10 5 5 5 5 1

2 2 2 3 5

*

A + 3 = Ekok (6, 8, 10) = 23.3.5 = 120 dir.

A  = 117 dir.