Köklü İfadeler

Köklü İfadeler

n, 1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere, xn = a eşitliğini sağlayan x sayısına a nın n. dereceden kökü denir.

a nın n. dereceden kökü n√2 şeklinde gösterilir.

2√a = √a    ;     karekök a

3√a =         ;     küpkök a

4√a            ;     dördüncü dereceden kök a şeklinde dir.

n√a ifadesinnin bir reel sayı olabilmesi için a ≥ 0 ya da n tek sayı olmalıdır. Yani n pozitif çift tam sayı ve a negatif reel sayı ise n√a ifadesi reel sayı değildir.

Örnek:

4√8 - x  ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için, x in hangi şartı sağlaması gerekir?

Çözüm: 

4√8 - x  Î IR ⇒ 8 - x  ≥ 0

                                  8 ≥ x

                                  x ≤ 8 dir.

 Köklü İfadenin Üslü Biçimde Yazılması

 m√an = am/n dir.

Örnek: 

• 3√5 ²  = 52/3
• √8  = 2√2³ = 23/2
• 5√-27 = 5√-33 = -33/5

 a ≥ 0 ve m tek sayı ise m√am = a dır.

Örnek:

• 3√273 = 3√33 = 3 
• 3√-8  = 3√-23 = -2
• 5√1  = 1 dir. 

a ≥ 0 ve m çift sayı ise m√am = |a| dir.

• 4√(-5)4 = |-5| = 5
• 2√(-2)6 = |-2| = 2
• √(-1)2 = |-1| = 1 dir.

Rasyonel Üssün Genişletilmesi ya da Sadeleştirilmesi

k bir doğal sayı ve a > 0 olmak üzere, m√an = m.k√an.k dir.

• √5  = 4√52
• 3√32 = 6√34
• 8√64 = 8√26 = 4√23 dür.

 Bir Sayıyı Kök İçine Alma veya Kök Dışına Çıkarma

t > 0 olmak üzere t. m√a  = m√a.tm dir.

• 2√5  = √5.22 = √20
• 2.3√5  = 3√5.8  = 3√40
• -3.√6  = -√54  ≠ √-54 
• √32  = √2.42 = 4.√2

• √18  = √2.32 = 3√2  dir.

Köklü Sayılarda İşlemlemler

1. Toplama, Çıkarma

Köklerin dereceleri ve içi eşit olan ifadeler, toplanırken ya da çıkarılırken ; katsayılar toplanır yada çıkarılır, sonuç köklü ifadeye katsayı olarak yazılır.

a.m√x  + b.m√x  - c.m√x  = (a + b - c)m√x  dir.

Örnek:

• 4√2  - √2  = 3√2 
• 2√3  + 3√3  = 5√3 
• √27  + √12  = 3√3  + 2√3  = 5√3  dür. 

2. Çarpma, Bölme

 m√x . m√y  = m√x.y 

Köklerin derceleri aynı ise aynı kök içerisinde çarpılır. Kökler aynı değilse önce köklerin dereceleri eşitlenir sonra işlem yapılır.

y ≠ 0 ise,

 m√x  / m√y  = m√x/y   dir.

Köklerin derceleri aynı ise aynı kök içerisinde bölünür. Kökler aynı değilse önce köklerin dereceleri eşitlenir sonra işlem yapılır.

 Örnek:

• √3 .√2  = √6 
• 3√2 .3√18  = 3√36 
• 3√5 .√3  = 6√52. 6√3 3 = 6√25.27  = 6√675 
• √8  / √4  = √8 / 4  = √2 

Köklü Sayılarda Sıralama

a < b ise  n√a  < n√b  dir.

Kökdereceleri aynı ise kökiçi büyük olan daha büyüktür. Kök dereceleri farklı ise önce kök dereceleri eşitlenir, sonra işlem yapılır. Kök dereceleri büyüdükçe sayı küçülür.

Örnek:

• √5  < √8 
• 3√3  < 3√10  < 3√25 
• 3√6  < 2√6 
• 3 > 3√9  > 6√75  > 2