Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar

Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar

Bu konuda geometri dersinde kullanılan temel kavramlarla birlikte doğrusal bir zeminde (düzlemde) açılar konusu işlenecektir. Bu konuların kavranması geometrinin daha sonra gelen konularının anlaşılması için de önemlidir.

Geometrik Kavramlar

Geometri, Latince bir kelime olup yer ölçüsü ma­nasına gelmektedir, insanların, gördükleri tüm eş­yayı ölçme ihtiyacından doğmuştur. Tarih boyun­ca, medeniyetlerin katkılarıyla ölçme teknikleri geliştirilerek bugünkü geometri bilimine ulaşıl­mıştır.

Geometri tekniklerini iyi öğrenebilmek için, geo­metri ile ilgili kavramları iyice anlamanız gerekir.

Nokta: Nokta, geometrinin en temel kavramıdır ve tanımsızdır. Eni, boyu ve yüksekliği yoktur. Bü­yük harflerle adlandırılır. Tanımsız olduğu için noktayı, ince uçlu bir kalemin ucunun kağıda dokundurulduğunda bıraktığı iz olarak düşünebilir­siniz.

Bir kâğıdı, kat yerleri kesişecek biçimde dörde katlayıp açarsanız kat yerlerinin kesişimi, nokta kavramı için iyi bir modeldir.

Doğru: Noktada olduğu gibi, doğrunun da bir tanımı yoktur. Bir kâğıdı ikiye katlayıp açtığımız­da elde edilen kat yeri doğruyu modeller. Doğru­nun sadece boyu vardır ve her iki yönde sonsuza uzar.

A ve B noktalarından geçen doğru AB olarak gösterilir ve "AB doğrusu" olarak okunur. A ve B noktalarının ikisinden AB doğrusu dışında başka bir doğru da geçmez. Çünkü iki nok­tadan yalnız bir doğru geçer.

Doğrular bazen küçük harflerle de gösterilebilir. Yani üzerinde bulunan harfler belirtilmeden doğrudan d doğrusu diye adlandırılıbilirler.

Aşağıdaki şekilde verilen ℓ doğrusu A noktasından geçtiği için, "A noktası ℓ doğrusu üzerindedir." denir ve A ∈  ℓ şeklinde gösterilir. B noktası ℓ doğrusu üzerinde olmadığı için, bu durum B ∉ ℓ şeklinde gösterilir.

Noktaların Doğrusallığı

Şekildeki ℓ doğrusu üzerinde verilen A, B, C nok­taları aynı doğru üzerinde bulunduğundan "A, B ve C noktaları doğrusaldır." denir. A, B ve D nok­taları ya da B, C ve D noktaları aynı doğru üzerin­de bulunamayacağı için bu noktalar doğrusal de­ğildir. A, C ve D noktalarının üçünden de geçen bir doğru çizebilir misiniz? Kesinlikle çizemezsiniz. Çizmeye kalktığınızda çizdiğiniz şey bir doğru olmayacaktır.

Düzlem: Düzlem de nokta ve doğru gibi tanım­sız bir terimdir. Düzgün bir masanın yüzeyini zih­ninizde sınırsız olarak büyütünüz. O kadar çok bü­yütün ki kenarları artık gözükmez olsun. Zihniniz­de oluşan kalınlıksız yüzey, düzlem için iyi bir mo­deldir.

Düzlemler paralelkenar ile gösterilir. E, F, K gibi büyük harflerle adlandırılır. Düzlemler de doğru ve noktalar gibi farklı konum­larda bulunabilirler. Karşımızdaki duvar düşey düzlem, yerin zemini yatay düzlemdir. Sınıftaki yazı tahtası da iyi bir düzlem örneğidir.

Düzlemde her şey iki boyutludur. Bir düzleme çizdiğiniz şeklin eni ve boyu olabilir ancak ona üçüncü boyutu veren yüksekliği olmaz. Sınıf tahtasına işaret parmağınızı dik bir şekilde koyarsanız o zaman düzleme yükseklik kazandırmış olursunuz.

Doğruların Paralelliği

Aynı düzlemde bulunan ve kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir. İki doğru aynı düzlemdeyse ya paralellerdir ya da kesişirler. Paralel iki doğru sonsuza kadar giderler ve hiçbir noktada kesişmezler.

Doğruların Kesişmesi

İki doğru ortak tek bir nokta barındırıyorsa bu doğrular o noktada kesişiyor demektir. Paralel olmayan iki doğru aynı düzlemdelerse mutlaka kesişeceklerdir. Tek bir nokta diye belirtmemizin nedeni ise şudur: Eğer iki doğrunun bütün noktaları aynıysa o zaman üst üste çizilmiş iki doğrudan bahsetmekteyizdir. Bu doğrulara da çakışık doğrular deriz.

Doğru parçası: Bir doğru üzerinde başlangıç ve bitiş noktası belli olan parçaya doğru parçası denir. Doğru parçası köşeli parantezle gösterilir. A noktasından B noktasına giden bir doğru parçasını [AB] doğru parçası diye adlandırırız. Doğru parçasının üzerindeki noktalar doğrusaldır. Doğru parçasının uzunluğu ise mutlak değer sembolüyle gösterilir. [AB] doğru parçasının uzunluğunu |AB| diye gösteririz.

Koordinat Doğrusu

Gerçek sayıların, bir doğrunun noktaları ile bire­bir eşlenmesi ile oluşturulan sayı doğrusuna koordinat doğrusu, doğrunun üzerinde 0 sayısına karşılık gelen nok­taya başlangıç noktası (orijin) denir. Herhangi bir noktaya karşılık gelen gerçek sayıya bu noktanın koordinatı adı verilir.

İki Nokta Arası Uzaklık

Koordinatları A(a) ve B(b) olan iki nokta arasın­daki uzaklık d(A, B) olarak ifade edilir ve bu uzunluk d(A, B) = |b - a| eşitliğiyle bulunur.

|x| ifadesi ise, x sayısının sıfıra olan uzaklığını verir. Ayrıca, uzunluğu eşit olan doğru parçaları­na eş doğru parçaları denir.

Işın: Bir doğru üzerindeki sabit bir noktadan başlayan yönlü doğru parçasına denir. Doğru parçasından farklı yönlü olmasıdır. Yani bir tarafa doğru sonsuza kadar gider. Bir noktanın bir yere ışınlanması şeklinde akılda tutulabilir. Işın da köşeli parantezle gösterilir. Ancak ışının bir bitiş noktası olmadığı için bir tarafında parantez bulunmaz. Örneğin [AB ışını A noktasından başlayıp B noktasından geçerek sonsuza kadar giden bir noktalar kümesidir.

Aynı yerden başlayan iki ışın bir açıyı oluşturur. Işınlar üst üste çakışık durumdaysa aradaki açı 0 olur.

Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşim kümesine açı; açıyı oluşturan ışınların her birine açının kenarları (veya kolları) ve bu iki ışının ortak olan başlangıç noktasına açının köşesi denir.

Şekilde [OA ve [OB ışınla­rı açının kolları, O noktası ise açının köşesidir.

Burada [OA ve [OB ışınlarının oluşturduğu açı, AOB şeklinde gösterilir ve "AOB açısı" diye oku­nur. Açılar isimlendirilirken açının köşesi ve ke­narları üzerindeki noktalar kullanılır. Şekildeki açı AOB açısı, BOA açısı veya sadece O açısı şeklinde isimlendirilir.

Açı Ölçüm Birimleri

Geometride en çok kullanılan açı ölçüm birimi derecedir. Doğruda açılar konusundan başlayarak en karmaşık geometri konusuna kadar derece kavramıyla karşılaşırız. Bir çember 360 dereceyi ifade eder. Bir doğru ise 180 dereceyi. 1 derecenin 60'ta birine 1 dakika (1') denir. 1 dakikanın ise 60'ta birine ise 1 saniye (1'') denir. Dereceden sonra en çok kullanılan açı ölçü birimi ise radyandır. Radyan bir çemberin çevresinin 2π ile orantılı olduğunu bilgisinden kaynaklanır. 2π = 360° şeklinde bir eşitlik kurabiliriz.

Açıortay

Bir açıyı iki eşit parçaya bölen ışına verilen addır. Açıortay sonraki konularda da işimize çok yarayacak bir geometrik kavramdır.

Şekilde [OC ışını AOB açısının açıortayıdır. Yani sağında ve solunda kalan iki açı da eşit derecede ve AOB açısının yarısı kadardır. Birbirine hemen komşu olan açıortayla ya da herhangi bir ışınla ayrılmış açılara ise komşu açılar deriz.

Yukarıdaki şekilde BAC açısı ile CAD açısı birer komşu açıdır.

Ölçülerine Göre Açı Türleri

Açıları sınıflandırırken birden fazla parametre kullanılır. Ancak açının genişliği açı türlerini belirlemek için temel kriterdir. Dar açı, dik açı, geniş açı, doğru açı, tam açı en bilinen açı türleridir. Bu açılar oluşturulurken açı genişlikleri esas alınmıştır.

Ölçüsü 0 ile 90 derece arasında olan açılara dar açı denir.

Ölçüsü 90 derece olan açılara dik açı denir.

Ölçüsü 90 derece ile 180 derece arasında olan açılara geniş açı denir.

Ölçüsü 180 derece olan açıya doğru açı denir. 180 derecelik bir açı bir doğru belirtir.

Ölçüsü 360 derece olan açıya tam açı denir. Tam açı bir çember ölçüsü şeklindedir.

Ters Açı, Tümler Açı, Bütünler Açı

Açıların birbirlerine göre durumları da önemlidir. Ters açı, tümler açı ve bütünler açı açıların birbirlerine göre konumlarından dolayı ortaya çıkmış geometrik kavramlardır.

Ters açıların ölçüsü birbirine eşit olur. Tümler açıların toplamı 90 derecedir. Bütünler açıların toplamı ise 180 derecedir. Buradan şu sonucu çıkarabiliriz. Eğer iki tümler açı komşuysa ikisi birlikte bir dik açı oluşturur. Aynı şekilde bütünler iki açı da bir doğru açı oluşturur.

Tümler ve bütünler açılar ile ilgi çeşitli problemler karşımıza çıkmaktadır. Bu problemleri bu açıların toplamından faydanalarak denklem kurma yoluyla çözeriz.

Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar

Doğruda açılar konusu ile ilgili sorular daha çok bu başlık altında sorulmaktadır. Paralel iki doğruyu başka bir doğru ile kestiğimiz zaman ortaya 8 tane açı çıkar. Bu açılar arasındaki ilişkiler de oldukça önemlidir.

Şekilde k doğrusu paralel olan d1 ve d2 doğrusunu keserek 8 tane açı ortaya çıkarmaktadır. Ortaya çıkan açılar arasında çeşitli eşitlikler vardır.

1=5, 2=6, 3=7, 4=8 (Yöndeş açılar eşittir.)

3=5, 4=6 (İç ters açılar eşittir.)

1=7, 2=8 (Dış ters açılar eşittir.)

1=3, 2=4, 5=7, 6=8 (Ters açılar eşittir.)

Sonuç olarak 1=3=5=7 ve 2=4=6=8 olmak üzere iki farklı büyüklükte açılar çıkar. Bu iki açıların toplamı da 180 derece olduğu için bu açılar bütünler açılardır. Yani 1 ile 2 ya da 1 ile 4 bütünler açılardır diyebiliriz.

Kümeler Konusu

Kümeler

Kümenin kesin bir tanımı yoktur. Matematikte küme tanımsız bir kavram olmakla beraber, küme denince aklımıza  nesnelerden meydana gelen topluluk gelir.

Küme kavramını örneklerle açıklayalım.

Örnek:

A = { 1, 3, a, 4} bir kümedir. 1, 3, a, 4 bu kümenin elemanlarıdır. A kümesinin 4 tane elemanı vardır. Bunu s(A) = 4 şeklinde yazarak belirtiriz. Bir elemanın kümeye ait olduğunu ∈, ait olmadığını ∉ işaretiyle belirtiriz.

1∈ A, 3 ∈ A, a ∈ A, 4 ∈ A, 5 ∉A dır.

Örnek:

A = { #, 2, {1, 3}, 4} kümesi 4 elemanlıdır.

Yani s(A) = 4 tür.

 # ∈ A, 2 ∈ A, {1, 3} ∈ A, 4 ∈ A dır. Ancak  1 ∉ A ve 3 ∉ A dır.

Liste Yöntemi

Kümenin bütün elemanlarını { } sembolü içerisine yazarak belirttiğimiz kümeye liste yöntemi ile gösterim diyoruz.

Örnek:

A = { 3, 6, 7, 8, 12}

B = { a, x, y, z, t, k}

C = { Mehmet, Hasan, Mustafa, Kemal, Osman, Ali, Zeynep, Gonca}

D = { keçi, koyun, tavuk, inek, at, zebra}

kümeleri liste yöntemi ile gösterilmiştir.

Ortak Özelik Yöntemi

Kümelerin elemanlarının ortak özelliğini belirterek yazdığımız kümeye ortak özellik yöntemi ile yazılmış küme denir.

Örnek:

A = { x | x, haftanın günleri}

B = { x | x, sınıfımızdaki gözlüklü erkek öğrenciler}

C = { x | -3 < x <20, x tek sayı }

kümeleri ortak özelik yöntemi kullanılarak yazılmış kümelerdir.

Boş Küme

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } veya ∅ simgesi ile gösterilir.

s(A) = 0 dır. Yani boş kümenin eleman sayısı sıfırdır.

Örnek:

A = {0} kümesi boş küme değildir.

0 ∈ A dır ve s(A) = 1 dir.

B = {∅} kümesi boş küme değildir. ∅ ∈ B dir. s(B) = 1 dir.

C = { x | x2 + 4 = 0, x reel sayı} kümesi boş kümedir.

Çünkü x2 + 4 = 0 ⇒ x2 = -4 olur. Karesi sıfırdan küçük bir sayıya eşit olan bir reel sayıl olmadığı için C kümesi boş kümedir.

C = ∅ dir. s(C) = 0 dır.

Eşit Kümeler

 Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir.

Örnek:

A = { x : 2 < x < 8, x asal sayı }

B = { x : 2 ≤ x < 9, x tek sayı }

kümelerini karşılaştıralım.

A = { 3, 5, 7 } ve

B = { 3, 5, 7 } olur.

A ve B kümlerinin bütün elemanları aynı olduğundan A = B ve s(A) = s(B) dir.

Venn Şeması

Kümenin elemanlarını kapalı eğrilerle çevrilmiş düzlem parçaları ile belirtmeye, kümenin venn şeması ile gösterilişi denir.

Örnek:

A = { a, b, c, d }

B = { Mehmet, Cihat, Süleyman }

kümeleri Venn şeması ile 

şeklinde gösterilir.

Alt Küme

 Bir B kümesinin bütün elemanları bir A kümesinin de elemanları ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir. B ⊂ A şeklinde yada A ⊃ B şeklinde gösterilir, A kapsar B diye okunur.

Örnek:

A = { a, b, c, d, e}  ve

B = { a, d, e } ise

A kümesi B kümesini kapsar. Yani B kümesi A kümesinin alt kümesidir.

B ⊂ A veya A ⊃ B şeklinde gösterilir.

Bunun venn şeması ile gösterimi

şeklindedir.

Örnek:

A = { 1, 2, 3, 4, 5}

B = { 1, 3, 5, 7} ise B kümesinin 1, 3, 5 elemanları A kümesinin de elemanıdır. Ancak elemanlarından 7 A kümesinin elemanı değildir. O halde A kümesi B kümesini kapsamaz.

Alt Küme Özellikleri:

1. ∅ = { } = boş küme, her kümenin alt kümesidir
2. Her küme kendisinin alt kümesidir. A ⊃ A, B ⊃ B, ∅ ⊃ ∅ gibi
3. İki kümeden her biri diğerinin alt kümesi ise bu iki küme eşittir. A ⊃ B ve B ⊃ A ise A = B dir.
4. A ⊃ B ve B ⊃ C  ise A ⊃ C dir.

Alt küme sayısı:

Bir kümenin eleman sayısı: n ise

Alt küme sayısı: 2n

Öz alt küme sayısı: 2n - 1 tanedir.

Örnek:

A = { 1, a, {2, 3}, 4, #, b} kümesinin

eleman sayısı: s(A) = 6

alt küme sayısı: 26 = 64

öz alt küme sayısı: 26 - 1 = 63 dür.

Uyarı:

n ve r doğal sayı ve n ≥ r ise

C( n, r ) = n! / (n - r)!. r! dir.

Bu bilgiyi n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısını bulurken kullanacağız.

Örnek:

A = {a, b, c, d, e} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

s(A) = 5 tir.

C(5, 2) = 5! / (5 - 2)!. 2!

= 120 / 12

= 10 dur.

Örnek:

32 tane alt kümesi bulunan bir A kümesinin en fazla 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Çözüm:

n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı: 2n dir.

2n = 64 ise

2n = 26 ise n = 6 dır.

Bizden istenen alt kümeler: 0 elemanlı, 1 elemanlı ve 2 elemanlıdır.

0 elemanlı alt küme satısı: 1( boş küme)

1 elemanlı alt küme sayısı: 5(eleman sayısı kadar)

2 elemanlı alt küme sayısı: C(5, 2) = 5! / (5 - 2)!. 2! = 5.4.3.2.1 / 3.2.1.2.1 = 10 dur.

1 + 5 + 10 = 16

Kümelerin Birleşimi

A ve B kümelerinin ortak elemanlarından birer tane (ortak eleman varsa) ortak olmayan elemanların tamamı alınarak oluşturulan yeni kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir.

A U B = { x ∈ A veya x ∈ B} biçiminde yazılır.

A U B kümesi venn şeması ile

şeklinde gösterilir. Taralı bölgenin tamamı A U B kümesidir.

Birleşimin Özellikleri

1. A U A = A dır.
2. A U ∅ = ∅ U A = A dır.
3. A U B = B U A (Değişme)
4. (A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C (Birleşme)
5. A ⊂ A U B, B ⊂ A U B

Kümelerin Kesişimi (Ara Kesit)

A ve B kümeleri verilsin. A ve B kümelerinin ortak elemanlarını alarak oluşturulan yeni kümeye A kesişim B kümesi denir.

 A ∩ B = { x | x ∈ A ve x ∈ B } biçiminde yazılır.

 C ∩ D = ∅ ise C ve D kümelerinin ortak elemanı yoktur. Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.

Kesişim kümesi ile ayrık kümeler venn şeması ile

biçiminde gösterilir.

 Örnek:

A = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} ve

B = { x | 2x -5 < 7, x doğal sayı} ise A ∩ B kümesini bulalım.

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ B = {0, 1, 2, 3} bulunur.

Venn şeması ile

 biçiminde gösterilir.

Kesişimin Özellikleri

1.  A ∩ A = A
2. A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅ dır.
3. A ∩ B = B ∩ A (Değişme)
4. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C (Birleşme)
5. A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B

Kümelerin kesişim ve birleşimi ile ilgili bağıntılar:

1. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
2. A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
3. s(A U B) = s(A) + s(B) - s(A ∩ B)
4. s(A U B U C) = s(A) + s(B) s(C) - s(A ∩ B) - s(A ∩ C) - s(B ∩ C) + s(A ∩ B ∩ C)

Tümleme

Bir kümenin tümleyeninden söz edebilmek için ilk önce evrensel küme adı verilen ve yeteri kadar elemanı olan bir küme belirlemeliyiz.

Evrensel kümeyi: E, A kümesinin tümleyenini de A' biçiminde göstereceğiz.

A' = { x | x ∉ A ve x ∈ E} biçiminde tanımlanır.

Venn şeması ile

şeklinde gösterilir

Tümlemenin Özellikleri

1. (A')' = A
2. (A U B)' = A ' ∩ B'
3. (A ∩ B)' = A' U B'
4. A ⊂ B ⇔ B' ⊂ A'
5. ∅' = E, E' = ∅
6. A U A' = E
7. A ∩ A' = ∅
8. s(A) + s(A') = s(E)

İki Küme Farkı

Aynı E evrensel kümesinde A, B kümeleri verilsin, A ya ait olup da B ye ait olmayan elemanlardan oluşan kümeye A ile B nin farkı denir ve A / B veya A - B şeklinde yazılır.

A - B = A / B = { x | x ∈ A ve x ∉ B } biçiminde ifade edilir.

x ∉ B ⇒ x ∈ B' dir. O halde;

A - B = { x | x ∈ A ve x ∈ B' } = A ∩ B' olur

Venn şeması ile

şeklinde gösterilir.

Sıralı İkili

Sıralı İkili

a ve b gibi herhangi iki nesneden birinin diğerinden önce (örneğin a'nın) gelmesi önemli ise, bu durum (a, b) şeklinde gösterilir. Buna sıralı ikili denir. Sıralı ikililerde sıra önemlidir.

(a, b) ≠ (b, a) olduğu halde

{a, b} = {b, a} dır.

Bileşenleri aynı olan ikililere özdeş ikililer denir.

Yani : (a, b) = (c, d) ise

a = c, b = d dir.

(a, b) ikilisinde a'ya birinci bileşen b'ye ikinci bileşen denir.

Kartezyen Çarpım

A ve B gibi herhangi iki kümeden, birinci bileşeni A'dan ikinci bileşeni B'den alınmak, suretiyle oluşturulan sıralı ikililerin tümünün kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir ve A x B biçiminde gösterilir. Kısaca,

A x B = {(x, y) : x ∈ A ve y ∈ B} dir.

Uyarı:

Kartezyen çarpımının her elemanı bir sıralı ikili ve sıralı ikililerde sıra önemli olduğuna göre;

A x B ≠ B x A dır. Yani kartezyen çarpımda değişme özelliği yoktur.

Kartezyen Çarpımın Eleman Sayısı

A ve B kümelerinin eleman sayıları, s(A) = m ve s(B) = n ise;

s(A x B) = s(A).s(B) = m.n dir.

Uyarı:

s(A x B) = s(B x A) olduğunu unutmayınız.

Kartezyen Çarpımın Şeması

A = {a, b, c} ve B = {3, 4} ise

A x B = {(a,3), (a, 4), (b, 3), (b, 4), (c, 3), (c, 4)} kartezyen çarpımının şeması aşağıdaki gibidir. 

Kartezyen Çarpımının Grafiği

A = {1, 2} ve B = {1, 2, 3} ise;

A x B yazılışında A'nın elemanları yatay (apsis) eksende, B'nin elemanları düşey (ordinat) eksende, B x A yazılışında ise B'nin elemanları yatay (apsis) eksende, A'nın elemanları düşey (ordinat) eksende işaretlenir.

Kısaca; İlk harfe ait elemanlar yatay (apsis), ikinci harfe ait elemanları da düşey (ordinat) eksende gösterilir.

Kartezyen Çarpımın Özellikleri

• A x B ≠ B x A (Kartezyen çarpımda değişme özelliği yoktur.)
• A x (B x C) = (A x B) x C (Birleşme özelliği vardır.)
• A x (B U C) = (A x B) U (A x C) 
• A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C) (Dağılma özelliği vardır.)

A ve B kümeleri verildiğinde;

1. Her iki kümenin elemanları da sayılamayan (sonsuz) çoklukta ise A x B ve B x A nın grafiği bir alan oluşturur.
2. A'nın elemanları sayılamaz, B'nin elemanları sayılabilir çoklukta ise A x B nin grafiği x-eksenine paralel doğrular,
3. A'nın elemanları sayılabilir, B'nin elemanları sayılamaz çoklukta ise A x B nin grafiği y-eksenine paralel doğrular oluşturur.

Bağıntı

A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B kartezyen çarpımı kümesinin β gibi herhangi bir alt kümesine, A dan B ye bağıntı denir.

A = {a, b}, B = {1, 2, 3} kümeleri için;

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b,3)} kartezyen çarpımının her alt kümesi, A dan B ye bir bağıntıdır. Bu bağıntıların bazıları aşağıda gösterilmiştir.

β1 = {(a, 1), (a, 2), (a, 3)}

β2 = {(b, 1)}

β3 = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4)}

β4 = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

β4 bağıntısından da anlaşılabileceği gibi A x B kümesinin kendisi de aynı zamanda bir bağıntıdır.

A x B kümesi 6 elemanlı olduğundan A x B nin 26 = 64 tane alt kümesi vardır. Bu 64 tane kümenin her biri A'dan B'ye bağıntıdır.

s(A) = m, s(B) = n ise A'dan B'ye yada B'den A'ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 2m.n tanedir.

Kartezyen çarpımın değişme özelliği olmadığından bir bağıntının belirtilebilmesi için, o bağıntının kuralının bilinmesi gereklidir. Yani A'dan B'ye mi yoksa B'den A'ya mı olduğu bilinmelidir.

Bir Bağıntının Tersi

A'dan B'ye tanımlanan bir β bağıntısındaki ikilileri yer değiştirerek B'den A'ya yeni bir bağıntı elde edebiliriz. Elde edilen bu yeni bağıntıya β'nin ters bağıntısı denir ve β-1 ile gösterilir. Kısaca;

β = {(x, y) : x  ∈ A, y  ∈ B}

β-1 = {(y, x) : x  ∈ A, y  ∈ B}

Bağıntının Özellikleri

Bir kümede tanımlı bağınıtının aşağıdaki özellikleri vardır.

I. Yansıma Özelliği

β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.

"x ∈ A için (x, x) ∈ β ise β bağıntısının yansıma özelliği vardır denir. Ya da β yansıyan bağıntıdır denir. 

n elemanlı bir A kümesi verilmiş olsun.

m = n2 ise

• A da tanımlı tüm yansıyan bağıntıların sayısı 2 m-n tane olur.
• β yansıyan bir bağıntı ise β nin kartezyen diyagramında y = x üzerinde n tane nokta vardır. 

II. Simetri

β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.

"(x, y) ∈ β iken (y, x) ∈ β ise β simetriktir ya da β bağıntısında simetri özelliği vardır denir. 

• β simetrik bağıntı ise β = β-1 dir.
• n elemanlı bir A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntıların sayısı 2n.(n+1)/2 tanedir.
• n elemanlı  bir A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan ve simetrik bağıntıların sayısı 2(n²-n)/2 tanedir.

 III. Ters - Simetri

β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.

• x ≠ y için "(x, y) ∈ β iken (y, x) ∉ β ise veya
• "(x, y) ∈ β ve (y, x) ∈ β iken x = y oluyorsa, β bağıntısı ters-simetriktir. 

Uyarı:

1. Ters-simetrik olmayan bir bağıntının simetrik, simetrik olmayan bir bağıntının ters-simetrik olması gerekmez
2. Ters-simetrik bir bağıntıda bileşenleri aynı olan ikililerin bulunması, ters simetriğe aykırı değildir.
3. Ters-simetrik bir bağıntının grafiğinde y = x doğrusuna göre simetrik eleman yoktur.

IV. Geçişme

 β, A'da tanımlı bir bağıntı olsun.

(x, y) ∈ β ve (y, x) ∈ β iken (x, z) ∈ β oluyorsa, β geçişken bir bağıntıdır ya da β bağıntısında geçişme özelliği vardır.

Özel Bağıntılar

Denklik Bağıntısı

A'da tanımlı bir bağıntının 

1. Yansıma
2. Simetri
3. Geçişme

özellikleri varsa bu bağıntıya denklik bağıntısı denir.

Sıralama Bağıntısı

A'da tanımlı bir bağıntının

1. Yansıma
2. Ters-simetri
3. Geçişme

özellikleri varsa bu bağıntıya sıralama bağıntısı denir.

Mutlak Değer

Mutlak Değer

Bir sayının, sayı sayı doğrusunda belirttiği noktanın uzaklığına, bu sayının mutlak değeri denir. 

Sayı doğrusunda 0 ile 4 noktalarının arası 4 birimdir. Aynı şekilde 0 ile -4 noktalarının arası da 4 birimdir. Öyleyse |-4| = |4| diyebiliriz.

Bu yüzden mutlak değerin içi negatif olsa da uzaklık değerleri negatif olamayacağı için dışarıya pozitif olarak çıkar.

Bu durumu şöyle kurallaştırabiliriz. Eğer mutlak değerinin içi pozitifse dışarı aynen çıkar. Eğer mutlak değerin içi negatif ise dışarı işaret değiştirerek çıkar. Bu durumu bir örnekle açıklayalım. 

Örnek: x < 0 < y olmak üzere |x - y| + |y - x| ifadesini bulunuz. 

Çözüm: Mutlak değer 0 (orjin) noktasına uzaklık demekse ve her zaman pozitif olarak dışarı çıkıyorsa o zaman ilk olarak mutlak değerin içinin işaretini bulmamız gerekir.

x - y ifadesinde x negatif y de pozitif olduğuna göre negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığında sonucun yine negatif bir sayı olduğunu biliyoruz. Öyleyse x - y ifadesi negatif bir değere sahiptir ve dışarı işaret değiştirerek çıkar. Yani -(x - y) olur. O da y - x değerine eşittir. 

Bulduğumuz ilk sonuç |x - y| = y - x şeklindedir.

 y - x ifadesini incelersek pozitif bir sayıdan negatif bir sayı çıkarıldığında sonucun pozitif olacağını kolaylıkla fark edebiliriz. Pozitif değerli ifadeler de mutlak değerin dışına aynen çıkar. 

Öyleyse bulduğumuz ikinci sonuç |y - x| = y - x olur. 

Bu iki sonucu birleştirirsek (y - x) + (y - x) = 2(y - x) olur. Bu da 2y - 2x ifadesine eşittir.

Mutlak Değerin Özellikleri

1. |x| ≥ 0
2. |x| = |-x|
3. -|x| ≤ x ≤ |x|
4. |x.y| = |x|.|y|

Bu dört özelliği kullanıp yeni özellikler türetebiliriz. En genel olarak bu dört özelliği bilmemiz diğer özellikleri elde etmemiz için yeterli olacaktır.

|x - a| = b ifadesi x'in b'den a birim kadar uzakta olduğunu ifade eder. Bu uzaklığın pozitif yönde veya negatif yönde olması önemli değildir. 

Örnek: A = |x - 3| + |x + 2| ifadesinin en küçük değeri nedir?

Çözüm: Soruda A'nın en küçük değeri isteniyor. Öyleyse x'in -2 ve 3 aralığında bir değer alması gerekmektedir. Çünkü bu aralağın dışına çıkarsa x uzaklık değerlerinin toplamı daha büyük olacaktır. x'e değer verirken de -2 ≤ x ≤ 3 şeklindeki değer aralığından bir değer seçilir. Mesela 0 değerini alırsak 3 +2 = 5 olur. Aynı şekilde 1 alırsak 2 + 3 = 5 olur. Demek ki sayı doğrusunda bu aralıkta bulunan bütün sayılar A'nın en küçük değerini elde etmemizi sağlıyor.

Yani en küçük değer 5 olur.